Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

数学

さて,(-2)×3は,どうして-6なんでしょう?

www.phi-math.com 負の数と正の数をかけたら負の数で, 2と3を掛けたら6, だから,-6 という,“計算法則”の説明は,いまは,厳密な説明とはしないことにしています. スイマセン・・・ 負と正で,なぜ負なの? 符号を無視して,2×3を計算して良いの…

掛け算は,どこからやっても,同じ答えになる

2×3×4って,いくらになりますか? 答えは24ですが,どうやって計算しましたか? 2×3=6 だから 6×4 を計算して 24 とした人もいれば, 3×4=12 だから 2×12 を計算して 24 あるいは, 2×3=3×2 だから 3×2×4 を計算したものと同…

(-1)×(-1)が1になる理由を,計算だけで,正確に議論してみると・・・

理解の上書きシリーズです. (-1)×(-1)=1 法則として理解していて,計算で使いこなせる人が多いですが,こうなる理由を明確に述べることって,案外,難しいのです. ・数直線上に数字を並べていくとき,0よりも右にあるのが正の数, 左にあるのが負の数. ・…

分配法則って、ご存じですか?

原理に戻って理論の正しさを実感すること。初学者にはツライ学習法ですが、大人には、頭の体操になるし、ちょうどよいかもしれません。1や0の話、「逆数をかけることと割り算が同じ計算操作」の話など、原理に戻りました。今回も、そんなことをやってみよ…

「0」は何も無い,と思っていませんか?

0なんて何も無いことなんだから,どうでもよくない? と思っている人,居ますよね? でも,そんなことないんです. 1が大事なのと同じくらい,0も大事なんです! 先日,「1」の特殊な性質について書きました. www.phi-math.com 少しだけ思い出しておき…

「1」って何ですか?

1円玉,1個のボール,1人の男性,ソーセージ1本 なんて説明してくれる人がいますが,全部,単位がついちゃっていますね. 「1そのもの」の説明にはなっていないようです. だって,この世に,「1そのもの」は存在しませんから! 記号としての「1」は存…

19神戸大学・理系数学 どうやったら解けるか?を解説します

今日は私の本業,大学入試数学の解説をやってみます. ちょっと難しいですが,雰囲気だけでもお楽しみいただければと思います. 【訂正】 誤)4は4カ所にあるから4/36 正)4は3カ所にあるから3/36

÷(2/3) が ×(3/2) と同じなのは,ナゼ??

分数の割り算・・・ 算数で乗り越えるべき高い高い壁です.分数ができない大学生,とか話題になったこともありますが,分数をちゃんと理解している人なんて,ほとんど居ません. ÷(2/3) は ×(3/2) と同じなんだ! だから,こうやったら計算できるんだ! と…

8×12=? どうやって計算しますか??

計算“結果”は,96です. ここで考えたいのは,計算“経過”です. 例えば,こんなのはどうでしょう? 8×12=8×(10+2)=8×10+8×2 8×2は九九に入ってます.16です. だから, 8×12=80+16=96 ☞筆算のカラクリを丁寧にやっている感じの計算でした. こんなのは…

2×3 と 3×2 は,いつから同じになりましたか?

2個入りのプリンを,3個買ったら,プリンは全部で何個? 3個が串に刺さった団子,2本買ったら,何個? 算数で掛け算を習うとき,1つ目は 2×3=6 だから,6個 です.2つ目は, 3×2=6 だから,6個 です.1つ目は 2+2+2=6 2つ目は 3+3…

2020灘中の算数で,軽減税率の問題

軽減税率. ややこしいと話題になりましたね. そういうテーマがあったら,すぐに問題にしてしまうのが,中学入試算数です. 全部店内で食べるのと,1個だけ持ち帰るのとで,税金が変わるんですよね. イートイン脱税っていうんでしたっけ. そういうことは…

2019鳥取大・数学 よくやる解法でも解けるけど・・・,出題者の意図を読み取りましょう!

鳥取大の問題. 数列の漸化式と,和を考える問題です. 和を求めるために一番大事なの,実は,「差」なんですよ. この意味が分かるようになれば,数列は怖くない!! もう少し詳しく言うと, 同じ形で「番号違いの差」 です. 最初の漸化式が,思わせぶりで…

阪大理系数学の超難問,実は,算数でした

下の図は,1/1 から始めて分数 p/q の左下に p/(p+q) ,右下に (p+q)/q を配置するという規則でできた樹形図の一部である. (1)(2)(3)省略 (4) 19/44 はこの樹形図の上から何段目の左から何番目に配置されるか答えよ.たとえば, 3/1 は上から3段目の…

最後のセンター試験では,新しいテストの萌芽がたくさん・・・ 例えば,数学IAの確率

もしよければ,⓪だけでも,正しい記述かどうか,考えてみてください. これまでのセンター試験では,ほとんどが定量的な問題です. 計算で答えを求めるタイプ. 新しいテスト(大学入学共通テスト)では,定性的な問題がかなり増える見込みです. 情報や性質…

算数とも詰将棋的とも思える数学の問題 @19神戸大学

1,3,4,1,3,4,1,3,4,・・・ というふうに1,3,4が繰り返し並んでいます.これを前から順に足していきます. n個足したものをS(n)と表します.つまり, S(1)=1,S(2)=1+3=4,S(3)=1+3+4=8,・・・ です. (1) S(n)=2019となるようなnは存在しません.その理由…

数学の問題を解いているときの,頭の中 19信州大②

www.phi-math.com 必要な知識が多い問題で,しかも,判断を迷わせる要素があるので,入試当日の受験生はかなり頭を悩まされたのではないかと思います. ちゃんと解かずに,解答だけを見ると「標準問題」と仕分けされますけど・・・

数学の問題を解いているときの,頭の中 19信州大①

数学の問題を解くときは,色んな想像力を働かせて,「問題文がこうなっているから,こういうストーリーなのかな?」などと推定しつつ,当たったり,外れたり,試行錯誤して解決の道筋を探し出します. 専門用語が多いですが,雰囲気だけでも感じてもらえたら…

京大の数学は,易しい難問.どういう意味でしょう??

いつも煩雑な数学の解説をやっております. マス・ハラのような記事になってしまい,申し訳なく・・・ 知識がないと立ち向かうことができないのが,ふつうの大学入試数学です. 今回は,思い切って 京都大学 の問題をやってみようと思います.「そんな難しい…

私,諦めが悪いんです.失敗した方法を改善するのも,数学を通じて学ぶことです.

先日は,無理やり積分の漸化式に帰着させて,見事に撃沈しました(笑) www.phi-math.com 超ユルい評価で良いはずなのに,それでも不等式の作り方が甘過ぎたという・・・ 今回は少し本気を出して行きます! “100”ではかなりガバガバな評価であることが残念で…

花を極方程式で描いてみた

原点からの距離rと,x軸から測った角度θを使って,点を表すのが,極座標. ちゃんと書くと (x,y)=(rcosθ,rsinθ) です.極座標のr,θの式で図形を表すのが,極方程式です. グルグルと回りながら変化するものを表記するのには適しています. けっこうキレ…

「行けた」と思ったら,「失敗だった」というのは数学をやっていて良くあること.ふつうは隠しますけど・・・

!!を見たら,余弦のn乗の積分を連想しちゃいますね(笑) 知ってますよ,そんな変態さんは,世の中の0.001%も居ないってことは. しかも,今回は,やってみたら失敗でした,という恥ずかしい内容です. ふつう,こういうのは隠すのですけど,数学は戦いなの…

数学の問題を解くとは? それは,文脈を読み取ること!

最近,数学ネタがマニアックになり過ぎていました. 今回は,数学の知識があるとよりお楽しみいただけるとは思いますが,そうでなくても見た目で何となく分かるようにしてみました. 「入試数学の問題を解く」というのは,知っている知識の“使いどころ”,“使…

偶数の積,奇数の積,大学数学では“100!!”なんて書きますね.そうきたら,組合せでしょ!?

またもや愛知教育大. 出題者の想定していないことを勝手にやり続けています. だから,数学関係者からも,「変態」と呼ばれるのです(笑) ここの数学ネタをまとめて,雑誌に掲載してもらうことになりそうです! 正式に決まったら,報告いたします. 応援,…

“積”と言えば・・・“対数”に決まっていますね.みんなが大嫌い,log(笑)

懲りずに愛知教育大. 対数,平均値,階段評価,積分 ワザに溺れてみました(笑) マニアック過ぎて,スイマセン・・・

エクセルで解いた問題を,真面目に解き直します(数学的帰納法)

ある程度の個数の多さで,直観的なイメージが働かないときは,“数列化”して考えることがあります. 100でなく,nで考えるのです. そこで,数学的帰納法. 「あるnで成り立てば,その次のn+1でも成り立つ」 という法則が成り立つことを示すことで,「n=1での…

もしも,大学入試数学でエクセル使用可だったら・・・(19愛知教育大)

単にエクセルを使うだけでは,数のイメージも身に付かないですし,工夫もできませんね. 小さい数を100回掛けるとどうなるか,を添えてみました. ざっくりと数値の大小を比較する感覚は,日常生活でも有益な数学スキルなのではないかと思います.

何の立体?? これが統計のお話につながるんですけど・・・

z=exp(-(x^2+y^2))です. 正規分布について理論構築するのに,その確率密度関数のグラフを回転させたもの(何のこっちゃ,ですね・・・). いまの中1から高校数学で統計が必須になるのですけど,学校も塾も,先生たちは統計を教えたことが無いんです. そ…

二等辺三角形で,底辺の内分点と頂点の距離は・・・②

二等辺三角形で,底辺の内分点と頂点の距離は・・・① では素敵な公式を紹介しました. “角の二等分線の長さ”とまったく同じ式になったのが衝撃的でしたね. ちょっとした問題を作ってみたので,紹介します. よければ解いてみてください.

二等辺三角形で,底辺の内分点と頂点の距離は・・・①

“角の二等分線の長さ”シリーズには続きがあった! 証明に用いた外接円を添えた図に於いて,二等辺三角形が出来ていたことに気付きます. 二等辺三角形で同じことを考えると・・・ 何と,まったく同じ公式が! 角の二等分線の長さ① https://www.phi-math.com/…

名古屋大,問題は格調高いが・・・ エクセルで解いてみた(笑)

√2=1.41421356… √3=1.7320508… √5=2.2360679… など覚えている人も居るでしょうが・・・ 平方根の値を求めていくのは厄介です.そういうときは,エクセルの力を借りましょう! でも,大学入試はいまだに,電子機器の持ち込みは禁止で・・・