数学語・数学的文法
京大数学の解説をやっています． これは，京大理学部合格した生徒が「この問題は先生に教わったおかげで解けたよ」と言ってくれた問題． 一般的には難しいとされる問題ですが，京大らしく，想像力を働かせて正しく判断すれば，スッと道が見えてくるものです…
絶対値について， www.phi-math.com で少し扱いました．書ききる前に力尽きてしまいましたので，今回は，絶対値だけをテーマにして書いてみようと思います． 「場合分け」と「定義域の分割」を混同してはならない という話です．まず，こんな問題を考えてみ…
文系の問題で，これは基本概念の組み合わせで解けるものでした． けれど，そこは京大，あやふやなところがあると，もちろん，お手上げになります． 京大の問題にチャレンジするには，初めて見る数学的対象であっても，しっかりと意味をくみ取れるようにした…
以前に「京大の数学は易しい難問」という記事を書きました． www.phi-math.com ですが，今年は，いつもと雰囲気が違って，「手数が多いもの」が散見されました． 過去問ばっかりやっている人は報われなかったのではないかと思います． 医学部医学科に合格し…
いつも唐突な計算問題で，すみません・・・ (2-1)+(4-2)+(8-4)+(16-8)+(32-16)+(64-32)+(128-64)=? という足し算をやってもらえないでしょうか？ できれば・・・( )の中を計算せずに． この( )の作り方，ものすごく作為的です． １つ目の( )の中に「2」があ…
1+3+5+7+9+11=? と言われたら？ (足している個数)=6 (最初)=1,(最後)=11 だから， 6×(1+11)/2=(６×12)/2=6×6=36となるのでした． 1 +3+5+7+9+11 11+9+7+5+3+ 1 と考えて， 6×(1+11)÷2となるというのが，法則の成り立つカラクリです！ この，奇数を順に足して…
同じ法則がずっと続くのか？ 昨日出会ったあの人に，今日も出会えるか？明日は？日常生活では・・・なんとも言えないですね． でも，数だったら，「必ずそうなる！」と言い切れます． 数を制御するカラクリが潜んでいるからです！今回は，そんなお話． 1+2+3…
誤解を恐れないタイトルにしました． 厳しい追及はしないでください（笑）． www.phi-math.com www.phi-math.com 先日の記事 www.phi-math.com に書いたように 0.111111……=1/9 だったはず． それが，1/2って，なに？ イミフメイ・・・ ということで（？），…
今回もちょっと哲学っぽくなってしまいそうです． 3÷3=1なのだから， (0.333333……)÷3=0.111111…… となって， 0.111111……=(1/3)÷3=1/9 となりそうです． でも，こんな計算，やっても良いのでしょうか？ それがOKなんだ，という話をしてみようと思います． 以…
先日の記事に色々とコメントいただきました！ ありがとうございます！！ ブログって良いですね． www.phi-math.com 実は，私，数学の本や雑誌記事をよく書いているのですが，１人で考えているとやはり偏ってしまいます． ブログで公開しながら書くと，色んな…
∞は，「ある」のではなく，「する」と思うと良いでしょう． そんなものは「無い」のです． その状態に「なる」「する」のです． その状態のことを「考える」のです． と，唐突に哲学的な雰囲気になっております（笑） これが今回のテーマです． さて，先日の…
先日， 0.333333･････････ の意味を説明しました． www.phi-math.com 0.3，0.33，0.333，0.3333，･････････ とずっと並べるとき，どういう値に近づくかを考えるのでした． その近づく先の値のことを，象徴的に 0.3333･････････ と，ず～っと3が続く形で表現…
0.333333333･････････ って、何でしょう？ “･････････” は，3がず〜っと続くことを意味しています． これが 3分の1（１／３）だと “知っている” 人は多いでしょうが、理解できている人は少ないかも知れません。 だって、これ、「数」じゃありませんから！ 「…
www.phi-math.com 負の数と正の数をかけたら負の数で， ２と３を掛けたら６， だから，－６ という，“計算法則”の説明は，いまは，厳密な説明とはしないことにしています． スイマセン・・・ 負と正で，なぜ負なの？ 符号を無視して，２×３を計算して良いの…
2×３×４って，いくらになりますか？ 答えは２４ですが，どうやって計算しましたか？ ２×３＝６ だから ６×４ を計算して ２４ とした人もいれば， ３×４＝１２ だから ２×１２ を計算して ２４ あるいは， ２×３＝３×２ だから ３×２×４ を計算したものと同…
理解の上書きシリーズです． (-1)×(-1)=1 法則として理解していて，計算で使いこなせる人が多いですが，こうなる理由を明確に述べることって，案外，難しいのです． ・数直線上に数字を並べていくとき，0よりも右にあるのが正の数， 左にあるのが負の数． ・…
原理に戻って理論の正しさを実感すること。初学者にはツライ学習法ですが、大人には、頭の体操になるし、ちょうどよいかもしれません。１や０の話、「逆数をかけることと割り算が同じ計算操作」の話など、原理に戻りました。今回も、そんなことをやってみよ…
今日は私の本業，大学入試数学の解説をやってみます． ちょっと難しいですが，雰囲気だけでもお楽しみいただければと思います． 【訂正】 誤）４は４カ所にあるから４／３６ 正）４は３カ所にあるから３／３６
２個入りのプリンを，３個買ったら，プリンは全部で何個？ ３個が串に刺さった団子，２本買ったら，何個？ 算数で掛け算を習うとき，１つ目は ２×３＝６ だから，６個 です．2つ目は， ３×２＝６ だから，６個 です．１つ目は ２＋２＋２＝６ 2つ目は ３＋３…
平行四辺形って覚えていますか？ 大人になると意識することは少ないですが・・・ 向かい合う辺同士が平行になっている四角形のことです． 平行な２直線があれば，それらと交わる直線との間の角度について，錯角が等しい，とか，同位角が等しい，とか． 色々…
鳥取大の問題． 数列の漸化式と，和を考える問題です． 和を求めるために一番大事なの，実は，「差」なんですよ． この意味が分かるようになれば，数列は怖くない！！ もう少し詳しく言うと， 同じ形で「番号違いの差」 です． 最初の漸化式が，思わせぶりで…
難関中学入試の図形問題，天才的な補助線が引けないと解けない，なんて思っていませんか？ 実は，そんなことはないんです． 底辺×高さ÷２ ・何とかして底辺と高さを求めたい，と強い意志を持ちましょう！ ・上にある正方形たちは，下にある正方形たちと同じ…
下の図は，1／1 から始めて分数 p／q の左下に p／(p+q) ，右下に (p+q)／q を配置するという規則でできた樹形図の一部である． (1)(2)(3)省略 (4) 19／44 はこの樹形図の上から何段目の左から何番目に配置されるか答えよ．たとえば， 3／1 は上から３段目の…
世の中の天才小学生たちは，どんな問題を解いているんでしょう？ 高校生が大学入試センター試験を受験するのと同じ日に，小学生が私立中学の入試を受験しています． 日本一と言って良いほど難しい算数を出題するのが，灘中学（＠神戸）． 200人ほどの少数精…
もしよければ，⓪だけでも，正しい記述かどうか，考えてみてください． これまでのセンター試験では，ほとんどが定量的な問題です． 計算で答えを求めるタイプ． 新しいテスト（大学入学共通テスト）では，定性的な問題がかなり増える見込みです． 情報や性質…
1,3,4,1,3,4,1,3,4,・・・ というふうに1,3,4が繰り返し並んでいます．これを前から順に足していきます． ｎ個足したものをS(n)と表します．つまり， S(1)=1,S(2)=1+3=4,S(3)=1+3+4=8，・・・ です． (1) S(n)＝2019となるようなｎは存在しません．その理由…
www.phi-math.com 必要な知識が多い問題で，しかも，判断を迷わせる要素があるので，入試当日の受験生はかなり頭を悩まされたのではないかと思います． ちゃんと解かずに，解答だけを見ると「標準問題」と仕分けされますけど・・・
数学の問題を解くときは，色んな想像力を働かせて，「問題文がこうなっているから，こういうストーリーなのかな？」などと推定しつつ，当たったり，外れたり，試行錯誤して解決の道筋を探し出します． 専門用語が多いですが，雰囲気だけでも感じてもらえたら…
いつも煩雑な数学の解説をやっております． マス・ハラのような記事になってしまい，申し訳なく・・・ 知識がないと立ち向かうことができないのが，ふつうの大学入試数学です． 今回は，思い切って 京都大学 の問題をやってみようと思います．「そんな難しい…
先日は，無理やり積分の漸化式に帰着させて，見事に撃沈しました（笑） www.phi-math.com 超ユルい評価で良いはずなのに，それでも不等式の作り方が甘過ぎたという・・・ 今回は少し本気を出して行きます！ “100”ではかなりガバガバな評価であることが残念で…
