Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

数学語・数学的文法

3,1,4,1,5 次にくる数は?

数字がいくつか並んでいます. 3,1,4,1,5 次にくる数は何でしょう? 答えは, 「分からない」 です. 「1つには決まらない」 という方が正確かも知れません. ここでは,3通りの答えを紹介してみます. そして,どの答えが“人間ぽい”かを考えてみましょう.…

2020年・京都大学の数学・文系・第2問 ~選択肢を列挙する力~

******** この問題,ちゃんと意味が分かれば,条件の整理は簡単にできます.「ちょっと計算したら終わり!」と思ってしまいがちですが・・・そう甘くはなかった.京大だから,計算量は不要だろうと高をくくっていた人は,慌ててしまったかも.4つの…

「神(仮)」の戯れで,願いは叶ってしまう

僕にとって,世界の中心は「僕」だと思います. だから,世界中を巻き込んでいるコロナも,僕にとっては, 僕に何かを伝えるために起こっていると考えることができます. う~ん,何を言っているんだか(笑) でも,昨日の全国への緊急事態宣言拡大のため,…

2020年・京都大学の数学・理系・第1問

京都大学の数学シリーズです.今回は,理系の第1問.難化したと言われる2020年の京大数学.どんな問題なのでしょうね?この問題は,全体の中では,解法判断に迷う要素は少ないので,解きやすい方です.とはいっても,難化した京大の理系数学の中で,ですが…

育毛剤を使っている人ほど,10年後に禿げてしまっている可能性が高い?

そんなデータがあったら,どう思いますか?いまのコロナ期,数字を鵜呑みにしたり,データに踊らされたり,そういう人がデマを拡散させてしまうのかも知れません. ある意味,人災です. そんな災いが少しでも減ってくれることを願って,書いてみます. 育毛…

2倍2倍になると・・・嬉しい

投資のことをブログに書かれている方,本当に多いですよね.チャレンジしてみたいけど,なかなか私は手が出ないです.預金で資産を増やすことができたら,どんなに楽か. ということで,預金と数列のお話です. 1年で2倍になる預金があるとします(あるわけ…

2020年・京都大学の数学・理系・第2問 ~学びの多い問題

京大数学の解説をやっています. これは,京大理学部合格した生徒が「この問題は先生に教わったおかげで解けたよ」と言ってくれた問題. 一般的には難しいとされる問題ですが,京大らしく,想像力を働かせて正しく判断すれば,スッと道が見えてくるものです…

「絶対値と言えば“場合分け”」という誤った思い込み

絶対値について, www.phi-math.com で少し扱いました.書ききる前に力尽きてしまいましたので,今回は,絶対値だけをテーマにして書いてみようと思います. 「場合分け」と「定義域の分割」を混同してはならない という話です.まず,こんな問題を考えてみ…

2020年・京都大学の数学・文系・第1問 ~絶対値の認知について~

文系の問題で,これは基本概念の組み合わせで解けるものでした. けれど,そこは京大,あやふやなところがあると,もちろん,お手上げになります. 京大の問題にチャレンジするには,初めて見る数学的対象であっても,しっかりと意味をくみ取れるようにした…

2020年・京都大学の数学・理系・第5問&文系・第5問 ~数学への取り組み方へ~

以前に「京大の数学は易しい難問」という記事を書きました. www.phi-math.com ですが,今年は,いつもと雰囲気が違って,「手数が多いもの」が散見されました. 過去問ばっかりやっている人は報われなかったのではないかと思います. 医学部医学科に合格し…

足してみよう③

いつも唐突な計算問題で,すみません・・・ (2-1)+(4-2)+(8-4)+(16-8)+(32-16)+(64-32)+(128-64)=? という足し算をやってもらえないでしょうか? できれば・・・( )の中を計算せずに. この( )の作り方,ものすごく作為的です. 1つ目の( )の中に「2」があ…

足してみよう②

1+3+5+7+9+11=? と言われたら? (足している個数)=6 (最初)=1,(最後)=11 だから, 6×(1+11)/2=(6×12)/2=6×6=36となるのでした. 1 +3+5+7+9+11 11+9+7+5+3+ 1 と考えて, 6×(1+11)÷2となるというのが,法則の成り立つカラクリです! この,奇数を順に足して…

足してみよう

同じ法則がずっと続くのか? 昨日出会ったあの人に,今日も出会えるか?明日は?日常生活では・・・なんとも言えないですね. でも,数だったら,「必ずそうなる!」と言い切れます. 数を制御するカラクリが潜んでいるからです!今回は,そんなお話. 1+2+3…

1/2=0.111111……?  1/2が割り切れるとは,限りません③

誤解を恐れないタイトルにしました. 厳しい追及はしないでください(笑). www.phi-math.com www.phi-math.com 先日の記事 www.phi-math.com に書いたように 0.111111……=1/9 だったはず. それが,1/2って,なに? イミフメイ・・・ ということで(?),…

1/3=0.333333…… ということは 0.111111……=?

今回もちょっと哲学っぽくなってしまいそうです. 3÷3=1なのだから, (0.333333……)÷3=0.111111…… となって, 0.111111……=(1/3)÷3=1/9 となりそうです. でも,こんな計算,やっても良いのでしょうか? それがOKなんだ,という話をしてみようと思います. 以…

1/2が割り切れるとは,限りません②

先日の記事に色々とコメントいただきました! ありがとうございます!! ブログって良いですね. www.phi-math.com 実は,私,数学の本や雑誌記事をよく書いているのですが,1人で考えているとやはり偏ってしまいます. ブログで公開しながら書くと,色んな…

極限を真面目に解説してみる① 「∞は,“ある”のではなく,“する”のです」

∞は,「ある」のではなく,「する」と思うと良いでしょう. そんなものは「無い」のです. その状態に「なる」「する」のです. その状態のことを「考える」のです. と,唐突に哲学的な雰囲気になっております(笑) これが今回のテーマです. さて,先日の…

1/2が割り切れるとは,限りません

先日, 0.333333・・・・・・・・・ の意味を説明しました. www.phi-math.com 0.3,0.33,0.333,0.3333,・・・・・・・・・ とずっと並べるとき,どういう値に近づくかを考えるのでした. その近づく先の値のことを,象徴的に 0.3333・・・・・・・・・ と,ず~っと3が続く形で表現…

0.333333333・・・・・・・・・の “真” の姿

0.333333333・・・・・・・・・ って、何でしょう? “・・・・・・・・・” は,3がず〜っと続くことを意味しています. これが 3分の1(1/3)だと “知っている” 人は多いでしょうが、理解できている人は少ないかも知れません。 だって、これ、「数」じゃありませんから! 「…

さて,(-2)×3は,どうして-6なんでしょう?

www.phi-math.com 負の数と正の数をかけたら負の数で, 2と3を掛けたら6, だから,-6 という,“計算法則”の説明は,いまは,厳密な説明とはしないことにしています. スイマセン・・・ 負と正で,なぜ負なの? 符号を無視して,2×3を計算して良いの…

掛け算は,どこからやっても,同じ答えになる

2×3×4って,いくらになりますか? 答えは24ですが,どうやって計算しましたか? 2×3=6 だから 6×4 を計算して 24 とした人もいれば, 3×4=12 だから 2×12 を計算して 24 あるいは, 2×3=3×2 だから 3×2×4 を計算したものと同…

(-1)×(-1)が1になる理由を,計算だけで,正確に議論してみると・・・

理解の上書きシリーズです. (-1)×(-1)=1 法則として理解していて,計算で使いこなせる人が多いですが,こうなる理由を明確に述べることって,案外,難しいのです. ・数直線上に数字を並べていくとき,0よりも右にあるのが正の数, 左にあるのが負の数. ・…

分配法則って、ご存じですか?

原理に戻って理論の正しさを実感すること。初学者にはツライ学習法ですが、大人には、頭の体操になるし、ちょうどよいかもしれません。1や0の話、「逆数をかけることと割り算が同じ計算操作」の話など、原理に戻りました。今回も、そんなことをやってみよ…

19神戸大学・理系数学 どうやったら解けるか?を解説します

今日は私の本業,大学入試数学の解説をやってみます. ちょっと難しいですが,雰囲気だけでもお楽しみいただければと思います. 【訂正】 誤)4は4カ所にあるから4/36 正)4は3カ所にあるから3/36

2×3 と 3×2 は,いつから同じになりましたか?

2個入りのプリンを,3個買ったら,プリンは全部で何個? 3個が串に刺さった団子,2本買ったら,何個? 算数で掛け算を習うとき,1つ目は 2×3=6 だから,6個 です.2つ目は, 3×2=6 だから,6個 です.1つ目は 2+2+2=6 2つ目は 3+3…

童心にかえって図形問題を解いてみませんか? 2020灘中・算数

平行四辺形って覚えていますか? 大人になると意識することは少ないですが・・・ 向かい合う辺同士が平行になっている四角形のことです. 平行な2直線があれば,それらと交わる直線との間の角度について,錯角が等しい,とか,同位角が等しい,とか. 色々…

2019鳥取大・数学 よくやる解法でも解けるけど・・・,出題者の意図を読み取りましょう!

鳥取大の問題. 数列の漸化式と,和を考える問題です. 和を求めるために一番大事なの,実は,「差」なんですよ. この意味が分かるようになれば,数列は怖くない!! もう少し詳しく言うと, 同じ形で「番号違いの差」 です. 最初の漸化式が,思わせぶりで…

2020灘中算数の図形問題にチャレンジ!

難関中学入試の図形問題,天才的な補助線が引けないと解けない,なんて思っていませんか? 実は,そんなことはないんです. 底辺×高さ÷2 ・何とかして底辺と高さを求めたい,と強い意志を持ちましょう! ・上にある正方形たちは,下にある正方形たちと同じ…

阪大理系数学の超難問,実は,算数でした

下の図は,1/1 から始めて分数 p/q の左下に p/(p+q) ,右下に (p+q)/q を配置するという規則でできた樹形図の一部である. (1)(2)(3)省略 (4) 19/44 はこの樹形図の上から何段目の左から何番目に配置されるか答えよ.たとえば, 3/1 は上から3段目の…

私立難関中学入試の算数って,どんなもの?

世の中の天才小学生たちは,どんな問題を解いているんでしょう? 高校生が大学入試センター試験を受験するのと同じ日に,小学生が私立中学の入試を受験しています. 日本一と言って良いほど難しい算数を出題するのが,灘中学(@神戸). 200人ほどの少数精…