Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

2×(-3)は、なぜ、-6なの?

と、問いかけたら、

 「2×3は6で、正の数と負の数をかけたら負の数だから、-6」

といった返答が返ってくるのではないかと思います。

 

「2×(-3)を計算するにはどうしたら良い?」と問われたら、上のように答えると思います。

しかし、実は、いまの問いは、「2×(-3)が-6と一致することを証明してください」という意味になっています。その問いに対する答えとしては不十分かもしれません。

では、こんな風に答えてみてはどうでしょう?

 

A、Bの二人がいくつかの球を持っていて、それらを取り引きしています。

AがBに3個の球を渡すと、Bの球は3個増えます。+3です。

Aの球は3個減って、-3です。

もう一度、AがBに球を3個渡すと、Bは2×3=6個増えて、+6です。

Aは、さらに3個減ります。球の変化は2×(-3)です。

Bが6増えていて、二人を合わせると球の個数の変化は±0なので、

 6+(Aの個数変化)=0

 (Aの個数変化)=-6

です。つまり、

 2×(-3)=-6

となります!

 

これで納得できますね。

でも・・・

あくまで日常的な感覚(日常語)の範囲での説明になっているとも考えられます。

『「-6」そのものではなく、「-6個」という、単位がついた「-6」を考えているから、限定的な説明にしかなっていないのではないか?』

という観点が必要になるのが、数学です(慣れていないと、嫌がらせされているように感じますね)。

 

数学語のみを使って説明してみると、どうなるでしょう?

球の個数などに数を反映させるのではなく、数そのものを考えます。

 

こういうときは、

 「そもそも-6って何だっけ?」

という視点が必要になります。実は、

 「0より6だけ小さい数」

が「-6」のそもそもの意味です。

 「6増やすと0になる」

とも考えることができて、

 「〇+6=0となる数」

が「〇=-6」です。

ということで、いまやるべきことは

 「2×(-3)が〇になることを証明する」

です。

 「2×(-3)に6を足して、0になるか?」

が論点です。

2×(-3)+6を計算して、0になることを証明します。

 

  2×(-3)+6

 =2×(-3)+2×3

 =2×(-3+3)

 =2×0 (-3の定義から、-3+3=0)

 =0  (0は何にかけても0になる数です)

 

確かに、2×(-3)+6を計算すると、0になりました!

 

これで自信をもって

 2×(-3)=-6

と答えることができます。

 

計算するときは、もちろん、

 「2×3は6で、正の数と負の数をかけたら負の数だから、-6」

って、やりますよ。