y=(x-1)^2+1 ……①
y=-(x-2)^2+2 ……②
は、どちらかを頂点にもつもので、思いつきやすいです。
※放物線は、軸がy軸と平行なもの（2次関数で表せるもの）にします。
〇^2は、「〇の2乗」です。
他にも、
y=(x^2+2)/3
などありますが、これは、なかなかシンプルで素敵です。
実は、コレ、上の２つから、2×①＋②を考えて
3y=2((x-1)^2+1) + (-(x-2)^2+2)
3y=2(x^2-2x+2)+(-x^2+4x-2)
3y=x^2+2
y=(x^2+2)/3
と得られるのです！
いわゆる「束」の応用です。
2円の共通弦や、“2円の交点”と“別のある点”を通る円を求めるときに、kなどを使っておく方法ですね。
2円で共通弦を考えるときは、x^2とy^2の項が消えるようにするのですが、いまの場合も、①＋②を考えると、面白いことになります。
①と②の交点を通る図形（だいたいは放物線）を表すはずですが、
2y=((x-1)^2+1)+(-(x-2)^2+2)
2y=2x
y=x ……③
で、2点を通る直線が得られます。
改めて、「束」っぽくやってみます。
① (x-1)^2-y+1=0
③ x-y=0
と変形しておいてから、
(x-1)^2-y+1+k(x-y)=0
という方程式を作ると、kがどんな実数でも、すべて、(1,1)と(2,2)を通る図形を表しています！
これが「束」の考え方でした。
k=-1のときだけ、ちょっと変な図形になりますが、その他のときは、放物線です。
k=-1のときは、
(x-1)(x-2)=0
x=1 または x=2
だから、「2本の縦線」になってしまいます。
(x-1)(x-2)の形は活用できそうですね。
2点を通る直線y=xと組み合わせると・・・
0でない実数aを用いて
y=a(x-1)(x-2)+x
と表しておけば、(1,1)と(2,2)を通る放物線になっています！
（式を見たら放物線と分かり、「2点の座標を代入したら左辺と右辺が等しくなる」から2点を通ることも分かります）
上に登場した3つの放物線は、a=1,-1,1/3としたものになっていますね。
もっとマニアックな作り方は、また別記事で。