Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

(1,1)と(2,2)を通る放物線を、何か1つ挙げるとしたら・・・

 y=(x-1)^2+1 ……①

 y=-(x-2)^2+2 ……②

は、どちらかを頂点にもつもので、思いつきやすいです。

 

※放物線は、軸がy軸と平行なもの(2次関数で表せるもの)にします。

 〇^2は、「〇の2乗」です。

 

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他にも、

 y=(x^2+2)/3

などありますが、これは、なかなかシンプルで素敵です。

実は、コレ、上の2つから、2×①+②を考えて

 3y=2((x-1)^2+1) + (-(x-2)^2+2)

 3y=2(x^2-2x+2)+(-x^2+4x-2)

 3y=x^2+2

 y=(x^2+2)/3

と得られるのです!

 

いわゆる「束」の応用です。

2円の共通弦や、“2円の交点”と“別のある点”を通る円を求めるときに、kなどを使っておく方法ですね。

 

2円で共通弦を考えるときは、x^2とy^2の項が消えるようにするのですが、いまの場合も、①+②を考えると、面白いことになります。

①と②の交点を通る図形(だいたいは放物線)を表すはずですが、

 2y=((x-1)^2+1)+(-(x-2)^2+2)

 2y=2x

 y=x ……③

で、2点を通る直線が得られます。

 

改めて、「束」っぽくやってみます。

 ① (x-1)^2-y+1=0

 ③ x-y=0

と変形しておいてから、

 (x-1)^2-y+1+k(x-y)=0

という方程式を作ると、kがどんな実数でも、すべて、(1,1)と(2,2)を通る図形を表しています!

これが「束」の考え方でした。

k=-1のときだけ、ちょっと変な図形になりますが、その他のときは、放物線です。

k=-1のときは、

 (x-1)(x-2)=0

 x=1 または x=2

だから、「2本の縦線」になってしまいます。

 

(x-1)(x-2)の形は活用できそうですね。

2点を通る直線y=xと組み合わせると・・・

0でない実数aを用いて

 y=a(x-1)(x-2)+x

と表しておけば、(1,1)と(2,2)を通る放物線になっています!

(式を見たら放物線と分かり、「2点の座標を代入したら左辺と右辺が等しくなる」から2点を通ることも分かります)

上に登場した3つの放物線は、a=1,-1,1/3としたものになっていますね。

 

もっとマニアックな作り方は、また別記事で。