前回は最終的に
y=a(x-1)(x-2)+x
という「束」の形までやってみました。
意表をついて、円を利用してみようと思います。
実用性はまったくありませんが、無駄に楽しいです！
さて、(1,1),(2,2)を通る円として、これらが直径の両端になる円を作ってみます。
ベクトルの内積を利用することで、
(x-1,y-1)・(x-2,y-2)=0
(x-1)(x-2)+(y-1)(y-2)=0
が、その円を表しています。
これを加工して、放物線にしてしまいます。
y^2を消してしまいたいので・・・
(x-1)(x-2)+(y-1)(y-2)-y^2
という式を考えてみると、
x^2-3x-3y+4
となっています。
放物線まで、もうちょっとです。
この式の値は
(1,1)のとき、値は-1
(2,2)のとき、値は-4
です。例えば、-3x+2の値は、
(1,1)のとき、値は-1
(2,2)のとき、値は-4
です。ということは、
(x-1)(x-2)+(y-1)(y-2)-y^2=-3x+2
としてみたらどうでしょう？
(1,1)のとき、左辺も右辺も値は-1
(2,2)のとき、左辺も右辺も値は-4
だから、(1,1)と(2,2)を通っています。
x^2-3x-3y+4=-3x+2
y=(x^2+2)/3
なので、2次関数になっています！
(1,1)のとき、値が-1
(2,2)のとき、値が-4
となる1次式ax+by+cは他にもたくさんあります。
それを使って
x^2-3x-3y+4=ax+by+c
を考えたら、どれも(1,1),(2,2)を通ります。
放物線にならないのは、b=-3のときだけです。
ということで、
a+b+c=-1,2a+2b+c=-4,b≠-3
を満たす(a,b,c)なら、何でもよいのです。
x^2-3x-3y+4=ax+by+c
は、(1,1),(2,2)を通る放物線を表しています。
すいません、変態的でしたね。
もっと変態的（笑）な作り方があれば、ぜひ、ご教授ください。