Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

【続】(1,1)と(2,2)を通る放物線を、何か1つ挙げるとしたら・・・

前回は最終的に

 y=a(x-1)(x-2)+x

という「束」の形までやってみました。

 

意表をついて、円を利用してみようと思います。

実用性はまったくありませんが、無駄に楽しいです!

 

さて、(1,1),(2,2)を通る円として、これらが直径の両端になる円を作ってみます。

ベクトルの内積を利用することで、

 (x-1,y-1)・(x-2,y-2)=0

 (x-1)(x-2)+(y-1)(y-2)=0

が、その円を表しています。

 

これを加工して、放物線にしてしまいます。

 

y^2を消してしまいたいので・・・

 (x-1)(x-2)+(y-1)(y-2)-y^2

という式を考えてみると、

 x^2-3x-3y+4

となっています。

放物線まで、もうちょっとです。

この式の値は

 (1,1)のとき、値は-1

 (2,2)のとき、値は-4

です。例えば、-3x+2の値は、

 (1,1)のとき、値は-1

 (2,2)のとき、値は-4

です。ということは、

  (x-1)(x-2)+(y-1)(y-2)-y^2=-3x+2

としてみたらどうでしょう?

 (1,1)のとき、左辺も右辺も値は-1

 (2,2)のとき、左辺も右辺も値は-4

だから、(1,1)と(2,2)を通っています。

 x^2-3x-3y+4=-3x+2

 y=(x^2+2)/3

なので、2次関数になっています!

 

 (1,1)のとき、値が-1

 (2,2)のとき、値が-4

となる1次式ax+by+cは他にもたくさんあります。

それを使って

 x^2-3x-3y+4=ax+by+c

を考えたら、どれも(1,1),(2,2)を通ります。

放物線にならないのは、b=-3のときだけです。

ということで、

 a+b+c=-1,2a+2b+c=-4,b≠-3

を満たす(a,b,c)なら、何でもよいのです。

 x^2-3x-3y+4=ax+by+c

は、(1,1),(2,2)を通る放物線を表しています。

 

すいません、変態的でしたね。

もっと変態的(笑)な作り方があれば、ぜひ、ご教授ください。