Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

(1,2),(5,6),(2,9)を通るような・・・

●(1,2),(5,6),(2,9)を通るような放物線(2次関数)を求めるには・・・

 

(1,2),(5,6)を通る直線がy=x+1だから、(1,2),(5,6)を通る2次関数は

  y=a(x-1)(x-5)+x+1 (aは0でない実数)

とおけます。(2,9)を通るような放物線を表すのは

  9=a×1×(-3)+3 ∴ a=-2

のときのもので、

  y=-2(x-1)(x-5)+x+1 ……①

です。展開して整理したら終わりです。

(※過去記事も、ぜひ参照してください)

 

●(1,2),(5,6),(2,9)を通るような円を求めるには・・・

 

(1,2),(5,6)を直径の両端にもつ円が、ベクトルの内積により、

  (x-1)(x-5)+(y-2)(y-6)=0

です。上の直線をx-y+1=0と変形しておくと、(1,2),(5,6)を通る円は

  (x-1)(x-5)+(y-2)(y-6)+b(x-y+1)=0  (bは実数)

とおけます。(2,9)を通るような円を表すのは

  1×(-3)+7×3+b×(-6)=0 ∴ b=3

のときのもので、

  (x-1)(x-5)+(y-2)(y-6)+3(x-y+1)=0  ……②

です。展開して整理したら終わりです。

(※過去記事も、ぜひ参照してください)

 

●もっと変な方法で②を求めたい!

 

(1,2),(5,6),(2,9)を通るような軸が横向きの放物線は・・・

  x=c(y-2)(y-6)+y-1  (cは実数)

とおけて、(2,9)を通るのはc=-2/7のとき。

  x=-2/7(y-2)(y-6)+y-1 ……③

①と③を~=0の形にすると

  -2(x-1)(x-5)+x+1-y=0 ……①'

  -2/7(y-2)(y-6)-x+y-1=0 ……③'

で、これらは(1,2),(5,6),(2,9)を通る図形。

例えば、①'+③'を考えると、

  (-2(x-1)(x-5)+x+1-y)+(-2/7(y-2)(y-6)-x+y-1)=0

式の形から、楕円!

円になるようにするには・・・x^2とy^2の係数を揃えたらよい!

①'+7×③'を考えると、

  (-2(x-1)(x-5)+x+1-y)+7×(-2/7(y-2)(y-6)-x+y-1)=0 ……②

展開して整理したら、②と一致するはず!

 

 「3点を通るという情報」かつ「式の形から円」⇒「3点を通る円」

というストーリーでした。専門用語的には「束」の考え方を応用したものです。

 

①(青)、②(紫)、③(赤)、①'+③'(緑)を図にしました。

 

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変態的(笑)ですが、、、数学は自由だ!

 

(教育的な観点は、ここにはないです!でも、共通テストでなら、出題することも可能です)