●(1,2),(5,6),(2,9)を通るような放物線（2次関数）を求めるには・・・
(1,2),(5,6)を通る直線がy=x+1だから、(1,2),(5,6)を通る2次関数は
y=a(x－1)(x－5)+x+1 (aは0でない実数)
とおけます。(2,9)を通るような放物線を表すのは
9=a×1×(－3)+3 ∴ a=－2
のときのもので、
y=－2(x－1)(x－5)+x+1 ……①
です。展開して整理したら終わりです。
（※過去記事も、ぜひ参照してください）
●(1,2),(5,6),(2,9)を通るような円を求めるには・・・
(1,2),(5,6)を直径の両端にもつ円が、ベクトルの内積により、
(x－1)(x－5)+(y－2)(y－6)=0
です。上の直線をx－y＋1=0と変形しておくと、(1,2),(5,6)を通る円は
(x－1)(x－5)+(y－2)(y－6)＋b(x－y＋1)=0 (bは実数)
とおけます。(2,9)を通るような円を表すのは
1×(－3)＋7×3＋b×(－6)=0 ∴ b=3
のときのもので、
(x－1)(x－5)+(y－2)(y－6)＋3(x－y＋1)=0 ……②
です。展開して整理したら終わりです。
（※過去記事も、ぜひ参照してください）
●もっと変な方法で②を求めたい！
(1,2),(5,6),(2,9)を通るような軸が横向きの放物線は・・・
x=c(y－2)(y－6)+y－1 (cは実数)
とおけて、(2,9)を通るのはc=－2/7のとき。
x=－2/7(y－2)(y－6)＋y－1 ……③
①と③を～=0の形にすると
－2(x－1)(x－5)+x+1－y=0 ……①'
－2/7(y－2)(y－6)－x＋y－1=0 ……③'
で、これらは(1,2),(5,6),(2,9)を通る図形。
例えば、①'＋③'を考えると、
(－2(x－1)(x－5)+x+1－y)＋(－2/7(y－2)(y－6)－x＋y－1)=0
式の形から、楕円！
円になるようにするには・・・x^2とy^2の係数を揃えたらよい！
①'＋7×③'を考えると、
(－2(x－1)(x－5)+x+1－y)＋7×(－2/7(y－2)(y－6)－x＋y－1)=0 ……②
展開して整理したら、②と一致するはず！
「3点を通るという情報」かつ「式の形から円」⇒「3点を通る円」
というストーリーでした。専門用語的には「束」の考え方を応用したものです。
①（青）、②（紫）、③（赤）、①'＋③'（緑）を図にしました。
変態的（笑）ですが、、、数学は自由だ！
（教育的な観点は、ここにはないです！でも、共通テストでなら、出題することも可能です）