●(1,2),(5,6),(2,9)を通るような放物線(2次関数)を求めるには・・・
(1,2),(5,6)を通る直線がy=x+1だから、(1,2),(5,6)を通る2次関数は
y=a(x-1)(x-5)+x+1 (aは0でない実数)
とおけます。(2,9)を通るような放物線を表すのは
9=a×1×(-3)+3 ∴ a=-2
のときのもので、
y=-2(x-1)(x-5)+x+1 ……①
です。展開して整理したら終わりです。
(※過去記事も、ぜひ参照してください)
●(1,2),(5,6),(2,9)を通るような円を求めるには・・・
(1,2),(5,6)を直径の両端にもつ円が、ベクトルの内積により、
(x-1)(x-5)+(y-2)(y-6)=0
です。上の直線をx-y+1=0と変形しておくと、(1,2),(5,6)を通る円は
(x-1)(x-5)+(y-2)(y-6)+b(x-y+1)=0 (bは実数)
とおけます。(2,9)を通るような円を表すのは
1×(-3)+7×3+b×(-6)=0 ∴ b=3
のときのもので、
(x-1)(x-5)+(y-2)(y-6)+3(x-y+1)=0 ……②
です。展開して整理したら終わりです。
(※過去記事も、ぜひ参照してください)
●もっと変な方法で②を求めたい!
(1,2),(5,6),(2,9)を通るような軸が横向きの放物線は・・・
x=c(y-2)(y-6)+y-1 (cは実数)
とおけて、(2,9)を通るのはc=-2/7のとき。
x=-2/7(y-2)(y-6)+y-1 ……③
①と③を~=0の形にすると
-2(x-1)(x-5)+x+1-y=0 ……①'
-2/7(y-2)(y-6)-x+y-1=0 ……③'
で、これらは(1,2),(5,6),(2,9)を通る図形。
例えば、①'+③'を考えると、
(-2(x-1)(x-5)+x+1-y)+(-2/7(y-2)(y-6)-x+y-1)=0
式の形から、楕円!
円になるようにするには・・・x^2とy^2の係数を揃えたらよい!
①'+7×③'を考えると、
(-2(x-1)(x-5)+x+1-y)+7×(-2/7(y-2)(y-6)-x+y-1)=0 ……②
展開して整理したら、②と一致するはず!
「3点を通るという情報」かつ「式の形から円」⇒「3点を通る円」
というストーリーでした。専門用語的には「束」の考え方を応用したものです。
①(青)、②(紫)、③(赤)、①'+③'(緑)を図にしました。
変態的(笑)ですが、、、数学は自由だ!
(教育的な観点は、ここにはないです!でも、共通テストでなら、出題することも可能です)