Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

“ゼロ”の比が世界を崩壊させないように

0が入った比を認めると、「すべての比は0 : 0に等しい」ことが分かり、

  すべての数は0と等しい

ことが導かれます。

 「“ゼロ”の比が世界を崩壊させる」

 https://www.phi-math.com/entry/2019/11/18/180000

でお話したことです。

ですが、

 「同じを同じと思えること」

 https://www.phi-math.com/entry/2019/11/17/224331

で紹介した通り、比=有理数(分数・rational number)です。

0を有理数に入れないのはマズいです。

今回は、この課題をどのようにクリアすれば良いのかを考えます。

 

「2つの有理数が等しい」とは次のような状況のことを言うのでした:

 

***

a/b,c/d (a,b,c,dは自然数)が等しい、つまり、 「a/b=c/dの等号が成立する」というのは、

  ad=bc

が成り立つことを言います。

***

 

a,b,c,dは自然数としているから、この定義自体は、問題ありません(世界を崩壊させません)。

自然数は、“正”の整数のことで、1,2,3,・・・ですから、0は自然数ではありません(整数ではあります)。

 

分数を考えるとき、分子が0の「0/2」などは、単に0を表すのでした。

しかし、分母が0の「2/0」などは、「0で割るということが考えられない」から、定義されないのでした。

これを思い出すと、世界を崩壊させることなく、0の入った比を考えることができそうです。

 

正の有理数は、

  a/b (a,bは自然数

と表せます。

0も有理数の仲間に入れるとしたら、

  a/b (aは0以上の整数、bは自然数

あるいは、同じ意味ですが、

   a/b (a,bは0以上の整数、b=0は除く)

と見れば良いのです。

 

比で言うと、

  a : b (a,bは0以上の整数、b=0は除く)

だけを考えるという“ルール”にしてしまいます。

  0 : 2 ・・・OK

  2 : 0 ・・・NG  

すると、問題だった

 

  0が入った比を認めると、「すべての比は0 : 0に等しい」

 

での、0 : 0がルール違反になり、世界の崩壊は防げます!!

 

比と有理数は「同じ」なので、お互いがお互いに影響を及ぼしているのですね。