Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

数学的に解けない問題

【プレーヤーの前に閉じた3つのドアがあって、1つのドアの後ろには景品の新車が、2つのドアの後ろには、はずれを意味するヤギがいる。プレーヤーは 新車のドアを当てると新車がもらえる。プレーヤーが1つのドアを選択した後、司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。

ここでプレーヤーは、最初に選んだドアを、残っている開けられていないドアに変更してもよいと言われる。
ここでプレーヤーはドアを変更すべきだろうか?】(Wikipediaから引用)

 

有名なモンティ・ホール問題です。

これの答えをめぐって、1990年のアメリカで大論争が巻き起こったそうです。

「変更すべきだ。そうすれば当たる確率は2/3になる!」との主張に対して、プロの数学者もこぞって反論したそう。

 

直観的には「残った扉の2つに1つ、どちらかに車が入っているから、1/2の確率だ」と感じてしまいます。

2つの結果の起こりやすさが等しいとしたら、そうなるわけですが・・・

 

例えば、1等1億円を狙って、宝くじを1枚買います。

結果は、1億円が当たるか、当たらないか、の2つに1つです。だから、確率は1/2です。

これは、どう考えてもおかしいです。

 

例えば、歪みのないコインを1枚投げます。

結果は、表が出るか、裏が出るか、の2つに1つです。だから、確率は1/2です。

これは、正しそうです(現実に歪みのまったくないコインが存在するのか?という問題になると、数学的に解けなくなります)。

 

さて、ここからが本題。

 

モンティ・ホール問題の解説を目にすることがありますが、問題の本質を捉えていないものもあります。大事なのは、

 

【司会のモンティが残りのドアのうちヤギがいるドアを開けてヤギを見せる。】とき、「どこに当たりがあるかを彼が知っているか?」

 

です。この情報が無いと、確率を考えることすらできません。

にも関わらず、暗黙のうちに「彼は知っている」という前提で説明して、「答えは2/3」としてしまっているものがあります。

 

この問題への数学的な解答は

 

 「解けない」

 

です。次に見るように、答えが1つに決まらないですから!

 

●知っている場合●

最初に選んだ扉にアタリが入っている確率が1/3で、そうでない(最初に選ばなかった扉2つにアタリが入っている)確率が2/3。

・変更せずに当たる確率は、1/3

・変更して当たる確率は、

  0×(最初の扉がアタリの確率)+1×(残り2つにアタリがある確率)

 =0×1/3+1×2/3=2/3

扉2枚分が1つに集約されて、確率が2/3になるのですね。

最初が外れ(確率2/3)なら、変えると当たるからです。

でも、最初が当たり(確率1/3)なら、変えると外れちゃいます。

 

●知らない場合●

最初に選んだ扉にアタリが入っている確率が1/3で、そうでない(最初に選ばなかった扉2つにアタリが入っている)確率が2/3。

知らない場合は、最初に選ばなかった2つに入っているときにハズレの方をうまく選ぶ確率1/2を考える必要があります。

・変更せずに当たる確率は、1/3

・変更して当たる確率は、

  0×(最初の扉がアタリの確率)+1/2×(残り2つにアタリがある確率)

 =0×1/3+1/2×2/3=1/3

 

「足して1にならないじゃないか?」と思う人も居ると思いますが、

・モンティが失敗してアタリを開けてしまう確率が、1/3

があるので、3つ合わせて1にちゃんとなっています。

 

感覚的な「1/2」という数字は、「モンティが知らない場合」の“条件付き確率”というものになっていて、

  (モンティがアタリを開けなかったという条件のもので、

   変更して当たる確率)

 =(変更して当たる確率1/3が、モンティが当たりを開けない確率2/3の中で

   どれくらいの割合を占めるか?)

 =(1/3)/(2/3)

 =1/2

です。

 

●知ってたり知らなかったりの場合●

・変更せずに当たる確率は、1/3

・変更して当たる確率は、

  0×1/3+??×2/3=・・・ 分からない!

 

ということで、「モンティがアタリの扉を知っているかどうか」を特定できないと、モンティ・ホール問題を解く土俵に立つことができないのです。

 

ここが明確でないから、数学の問題ではなくなります。

だから、与えられた情報だけからは、解くことができません!

 

実際には、失敗することはないでしょうから、「知っている」という前提に立って、前者の答え「変更すると当たる確率が2/3になるから、変える方が有利だ」となるのでしょう。

 

しかしこれでは、テレビ界の常識に関する問題になってしまいます。

それを知らなきゃ解けないのは、数学の問題ではありません!

最初の問題文に対しては、何も答えられません。