Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

2019千葉大

aは実数とする.座標平面上で連立不等式

  f:id:phi_math:20191208105302j:plain

の表す領域をD(a)とする.いま,x座標もy座標も整数であるような点を格子点と呼ぶことにする.

(1) nを整数とする.このときD(n)に含まれる格子点の個数を求めよ.

(2) 任意の実数aについて,D(a)に含まれる格子点の個数とD(a+1)に含まれる格子点の個数は等しいことを示せ.

 ■ □ ■ □

何が読み取れますか?

(2)まで読んでおくと,a=0で考えたものと(1)の個数は一致することが分かります!

そして,次の図のようなイメージが浮かびます.

  f:id:phi_math:20191208105319j:plain

「何かあるぞ」と思いながら,境界線の方程式2つを連立すると,キレイに因数分解できることに気付きます.

“差”を表す領域を考えると,領域の形状はaによらず一定.

aを“整数”だけ変化させても,領域内の格子点の配置は変わらないことが分かります!

 

数学的文法を用いて,現象としてイメージを把握することが大事!

それがよく分かる問題でした.

定性的な観点(式や計算で頑張るのではなく,性質・情報から判断すること)は,共通テストでも大事になってくる要素です.