Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

千葉大2019・解・

2019千葉大
https://www.phi-math.com/entry/2019/12/08/110506

 

で紹介した問題.

定性的な解答を作ってみます.

 ■ □ ■ □

 

D(a)を考える代わりに(x-a)(x-(a+3))≦y≦0を考える.

2つの領域は,xを固定すると,yの範囲の幅は等しい.

 

(1) a=n (nは整数)のとき,D(n)でも(x-n)(x-(n+3))≦y≦0でも,xが整数のとき,上下の境界線上の点は格子点.

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よって,8個.

 

(2) xが整数のとき,D(a)では下の境界線上の点が格子点,(x-a)(x-(a+3))≦y≦0では下の境界線上の点が格子点.

(x-a)(x-(a+3))≦y≦0と同数の格子点がある.

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これをx方向に1だけ平行移動した領域には,同じ個数の格子点が含まれる(格子点が格子点に移るから).

 よって,D(a)とD(a+1)には同数の格子点が含まれる.