π=3.141592……
をかなり覚えている人もいます(私は小数点以下は4桁しか覚えていない).
一時期,ゆとり教育ではπ ≒ 3となっていて,その時期,東京大学では
π>3.05を証明せよ
という出題があり,話題になりました.
それ以降も“πの値の評価”をさせる問題は,色んな大学で出されています.その1つが,2019年群馬大の後期の問題(原題は,入試問題正解などを参照ください).
πの近似値として古くから知られているものがあります.
を利用するものです.小数第2位までが14で,続きも28で15とそんなには離れていません.
これに3を加えると
これが円周率の近似であることは,4000年くらい前から知られていたそう.
人類,すごい!
これが積分によって得られるというのが,群馬大の問題でした.
主要部分は次の積分です.
被積分関数は次のような,ペッタンコのグラフです.つまり,積分の値は,ほぼ0.
これをどうやって積分するか?
少しメンドクサイですが,
分子を展開
↓
分母で割って,帯分数に
↓
多項式+(1次式)/(1+x^2)
↓
2x/(1+x^2)=(log(1+x^2))’
1/(1+x^2)はx=tanθと置換
という定番のストーリーです.
さて,何が起こるか?
続きは後ほど.