は
と変形でき,さらに,分子を2,3,4,5,6としてみると
となるのでした.
小数点がズレる意味を考えるのに10倍,100倍,・・・を見ていました.
これを次のように変形すると,意味がよく分かります.
よく出来ていますね.
こういう構造を発見できたら,数学が楽しくなってきます.
しかし,数字が大きくなって,ちょっとイヤ.
合同式で整理してみましょう!
整数a,bについて,a-bが自然数nで割り切れるとき,
a ≡ b (mod n)
と書くのでした.
10 ≡ 3 (mod 7)
です.だから・・・7分の“1”を小数で書くと
0. 142857 142857……
で,
0. 428571 428571……
は小数点が1つズレた(つまり,“10倍”に対応する)から,7分の“3”
100=10 × 10 ≡ 3 × 3=9 ≡ 2 (mod 7)
だから,
0. 285714 285714……
は,7分の“2”
残りも
1000 ≡ 2 × 3=6
10000 ≡ 6 × 3=18 ≡ 4
100000 ≡ 4 × 3=12 ≡ 5
から分かります!
これで,分母が7の分数の構造は,丸裸になった♡