Mr.∅の数学と古美術

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今日考えた問題191221

19岐阜大(改)

xy平面上に点A(0,4),点P(p,-1),点Q(q,1)がある.ただし,0<p<qとする.

(1) △APQの面積Sをp,qを用いて表せ.

(2) △APQが直角三角形になるとき,面積Sの最小値を求めよ.

 

(1) ベクトルでやりたいけれど,敢えて・・・

(2) どこが直角か・・・原題では全部考えさせる設定でしたが,メンドクサイので小問を1つ,削りました.

 

解答
(1) 辺APと直線y=1の交点をRとおくと,

  f:id:phi_math:20191221231911j:plain

 S=△AQR+△PQR=QR・5/2

QR=q-3p/5であるから,

 S=(5q-3p)/2

(2) Pを固定する.

  f:id:phi_math:20191221232002j:plain

角Aは必ず鋭角.

角Pが90°になる三角形APQは,角Qが90°になるときの三角形APQを含む.

最小値を考えるには,後者のみ考えれば良い.

 

APを直径にもつ円

  x(x-p)+(y-4)(y+1)=0 ☜内積を利用

とy=1の交点がQだから,

  q(q-p)-6=0 ∴ p=q-6/q ……①

ここからpを動かす.

①が,「pをqで表す」になったから,実際には,qを動かす.

(1)より,

  S=(5q-3p)/2=(2q+18/q)/2

で,これの最小値を考える.

(+を×に変えると定数になる形だから,相加相乗平均を利用!)

  S ≧ √(2q×18/q) = 6

2q=18/qつまりq=3で等号成立.

よって,q=3,p=1でSは最小値6をとる.