Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

今日考えた問題191222

19岐阜大

xy平面上に3点O(0,0)A(1/20)P(tt^2-2t^3)がある.ただし,0<t<1/2とする.△OPAの重心をGとする.
(1) Gの座標を求めよ.
(2) (ベクトルGP)⊥(ベクトルOA)であるときのtの値を求めよ.
(3) 4次関数
    f(x)=-1/2+(x^3)(1-2x) (0<x<1/2)
 を考える.f(x)<0であることを示せ.
(4) 0<t<1/2において,∠OPAが鈍角であることを示せ.

 

2日連続岐阜大.

岐阜大が好きな人みたい(笑)

「誘導に乗ってたまるか」という問題が,たまたま2つあっただけ.

(1) 公式を使うだけ

(2) 内積=0ではやりたくない!

(3) 微分して最大値を考えるなんて,いやだ!

(4) 内積が負になることを示させたいんでしょ?そうはいかぬ!

 

解答

(1) G( (2t+1)/6,(t^2-2t^3)/3 )

(2) GPはOAの中点を通る.垂直のとき,GPは直線x=1/4と一致.

 よって,t=1/4

(3) f(x)<0は-1/2+x^3<2x^4と同値.

 y=2x^4(赤い曲線)とy=-1/2+x^3(緑の曲線)を,y軸とx=1/2(青い線)の間で考えると,赤の方が常に上にある(間にx軸が入る!).

  f:id:phi_math:20191222230842j:plain

これで-1/2+x^3<2x^4が示せたから,f(x)<0も示せた.

(4) ∠OQA=90°となるQの軌跡が,OAが直径の円(赤い曲線).

  f:id:phi_math:20191222231805j:plain

 Pの軌跡であるy=x^2-2x^3(青い曲線)が,円の上の線y=√(x/2-x^2)よりも下にあることを示せばよい(図を見たら明らかですが,式でちゃんと示します).つまり,

  x^2-2x^3<√(x/2-x^2)

を示したいが,両辺とも0以上だから,2乗したものを比較する.つまり,

  x^4-4x^5+4x^6<x/2-x^2

を示す.

  (右辺)-(左辺)=x(1-2x){1/2-x^3(1-2x)}

だから,(3)より,これは負.

よって,(右辺)<(左辺)が成り立ち,題意は示された.