19岐阜大
xy平面上に３点O(0，0)，A(1/2，0)，P(t，t^2－2t^3)がある．ただし，0＜t＜1/2とする．△OPAの重心をGとする．
(1) Gの座標を求めよ．
(2) (ベクトルGP)⊥(ベクトルOA)であるときのｔの値を求めよ．
(3) ４次関数
f(x)＝－1/2＋(x^3)(1－2x) (0＜x＜1/2)
を考える．f(x)＜0であることを示せ．
(4) 0＜t＜1/2において，∠OPAが鈍角であることを示せ．
2日連続岐阜大．
岐阜大が好きな人みたい（笑）
「誘導に乗ってたまるか」という問題が，たまたま２つあっただけ．
(1) 公式を使うだけ
(2) 内積＝0ではやりたくない！
(3) 微分して最大値を考えるなんて，いやだ！
(4) 内積が負になることを示させたいんでしょ？そうはいかぬ！
解答
(1) G( (2t＋1)/6，(t^2－2t^3)/3 )
(2) GPはOAの中点を通る．垂直のとき，GPは直線x＝1/4と一致．
よって，t＝1/4
(3) f(x)＜0は－1/2＋x^3＜2x^4と同値．
y＝2x^4（赤い曲線）とy＝－1/2＋x^3（緑の曲線）を，y軸とx＝1/2（青い線）の間で考えると，赤の方が常に上にある（間にx軸が入る！）．
これで－1/2＋x^3＜2x^4が示せたから，f(x)＜0も示せた．
(4) ∠OQA＝90°となるQの軌跡が，OAが直径の円（赤い曲線）．
Pの軌跡であるy=x^2－2x^3（青い曲線）が，円の上の線y＝√(x/2－x^2)よりも下にあることを示せばよい（図を見たら明らかですが，式でちゃんと示します）．つまり，
x^2－2x^3＜√(x/2－x^2)
を示したいが，両辺とも０以上だから，2乗したものを比較する．つまり，
x^4－4x^5＋4x^6＜x/2－x^2
を示す．
(右辺)－(左辺)＝x(1-2x){1/2－x^3(1-2x)}
だから，(3)より，これは負．
よって，(右辺)＜(左辺)が成り立ち，題意は示された．