19岐阜大
xy平面上に3点O(0,0),A(1/2,0),P(t,t^2-2t^3)がある.ただし,0<t<1/2とする.△OPAの重心をGとする.
(1) Gの座標を求めよ.
(2) (ベクトルGP)⊥(ベクトルOA)であるときのtの値を求めよ.
(3) 4次関数
f(x)=-1/2+(x^3)(1-2x) (0<x<1/2)
を考える.f(x)<0であることを示せ.
(4) 0<t<1/2において,∠OPAが鈍角であることを示せ.
2日連続岐阜大.
岐阜大が好きな人みたい(笑)
「誘導に乗ってたまるか」という問題が,たまたま2つあっただけ.
(1) 公式を使うだけ
(2) 内積=0ではやりたくない!
(3) 微分して最大値を考えるなんて,いやだ!
(4) 内積が負になることを示させたいんでしょ?そうはいかぬ!
解答
(1) G( (2t+1)/6,(t^2-2t^3)/3 )
(2) GPはOAの中点を通る.垂直のとき,GPは直線x=1/4と一致.
よって,t=1/4
(3) f(x)<0は-1/2+x^3<2x^4と同値.
y=2x^4(赤い曲線)とy=-1/2+x^3(緑の曲線)を,y軸とx=1/2(青い線)の間で考えると,赤の方が常に上にある(間にx軸が入る!).
これで-1/2+x^3<2x^4が示せたから,f(x)<0も示せた.
(4) ∠OQA=90°となるQの軌跡が,OAが直径の円(赤い曲線).
Pの軌跡であるy=x^2-2x^3(青い曲線)が,円の上の線y=√(x/2-x^2)よりも下にあることを示せばよい(図を見たら明らかですが,式でちゃんと示します).つまり,
x^2-2x^3<√(x/2-x^2)
を示したいが,両辺とも0以上だから,2乗したものを比較する.つまり,
x^4-4x^5+4x^6<x/2-x^2
を示す.
(右辺)-(左辺)=x(1-2x){1/2-x^3(1-2x)}
だから,(3)より,これは負.
よって,(右辺)<(左辺)が成り立ち,題意は示された.