Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

÷(2/3) が ×(3/2) と同じなのは,ナゼ??

分数の割り算・・・


算数で乗り越えるべき高い高い壁です.
分数ができない大学生,とか話題になったこともありますが,分数をちゃんと理解している人なんて,ほとんど居ません.

 

 ÷(2/3) は ×(3/2) と同じなんだ!
 だから,こうやったら計算できるんだ!

 

と,法則を覚えている人は多いです.が・・・

 

 「じゃあ,なんで,同じなの?」

 

と問われて,ちゃんと答えるのは,とても難しいことじゃないでしょうか?
お子さんに聞かれて,

 

 「そういうもんだ!」

 

と答えていませんか?

この説明のキーワードは,逆数です.
では,逆数って何でしょうか?

 

2の逆数は?
2分の1,1/2です.
では,1/2の逆数は?
確か,これは,2だ!
2の逆数(1/2)の逆数は,2.
逆数の逆数は,元の数.
そんな風に習った気がするぞ(笑)

 

ちょっと待ってください.
やっぱり法則になっている・・・
そもそも,逆数って,何なんでしょう?

 

実は,「掛けて1を作りたい」というのが源です.

 

 2×□=1 となる□=?

 

これが逆数なんです.
だから,□=1/2と分かれば,

 

 2×(1/2)=1 ☜ 2 掛ける (1/2) が 1 と等しい

 

が分かります.ということは,

 

 ■×(1/2)=1 となる■=?

 

と聞かれたら,

 

 ■=2

 

と答えることができるんです.

ある数の逆数というのは,たった一つ.
ペアになって1を作れる唯一無二の存在.

 

ちなみに・・・
そんな逆数ですが,逆数をもたない数が,ただ1つだけあります.
それは何でしょう?

 

何と掛けても0になってしまう,あの数です.
そう,0ですね.

 

 0×□=1 となる□=?
 0×(数)=0 何を掛けても,必ず0

 

0だけは,逆数を持ちません.

逆数の話で言うと,自分自身が逆数になるという,ちょっと変わった数もありますね.それは?
1ですね.だって,

 

 1×1=1

 

ですもんね.
・・・と,言っていると,ヤツが怒りますよ.
「オレだって,自分自身が逆数だ!」と.
そう,それは -1 です.

 

 (-1)×(-1)=1

 

ですもんね.
こうやって見ると,また違った景色が見えてきませんか?

 

スイマセン,話がそれてしまいました・・・

 

 2×□=1 となる□=?

 

の答えが,2の逆数で,□=1/2
では,クイズ.

 

 2〇2=1 〇は何?

 

202(二百二)じゃないですよ.
〇には何かが入ります.
答えは・・・

 

 ÷

 

です!

 

 2÷2=1
 3÷3=1
 100÷100=1

 

何でも,自分自身で割ると,「自分は自分1個分」だから,答えは1です.

 

 (-5)÷(-5)=1
 (2/3)÷(3/2)=1

 

勘がいい人は気づいているかも知れません.
1つだけ例外の数があります.
それは・・・

 

 0

 

ですね.
0で割ることはできないんでした.
確か,そう習った気がする(笑)

 

さて,本題.

 

 2×(1/2)=1
 2÷2=1

 

どっちも同じ計算結果.
2に何かの「計算を施す」という意味で,

 

 ×(1/2) と ÷2

 

は同じなんです.
施す相手が2でなくても.

 

 6 ×(1/2) =3 ☜6に 1/2を掛けた 結果が3
 6 ÷2 =3 ☜6を 2で割った 結果が3

 

同じになります.

 

 ×(1/2) と ÷2

 

は同じなんです.

 

 逆数をかけること と その数で割ること

 

は同じなんです.

掛け算・割り算は,

 

 「施される側」と「施す側」がある

 

という見方をすると,見え方が変わってきますね.
これ,実は,大人の数学でも大事な考え方なんですよ!!

 

最後に・・・
0に何を掛けても0だから,

 

 0に逆数はない

 

ということは,

 

 0の逆数を掛けること

 

つまり,

 

 0で割ること

 

は・・・できない!

 

 分数の割り算は,逆数を掛けることなんだ
 いえいえ,分数に限らず,何でもそうですよ!!

 

やりにくい分数だけ特別扱いするからややこしくなっている気がします.
初めて算数で習うときはそれでよいのですけど,どこかで理論を上書きしないと,法則だけの人になっちゃうんですね.

 

上書きすることで,新たな景色が見えてくる.
それが,数学の楽しみなんですね.