Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

「1」って何ですか?

 1円玉,1個のボール,1人の男性,ソーセージ1本

なんて説明してくれる人がいますが,全部,単位がついちゃっていますね.

「1そのもの」の説明にはなっていないようです.

だって,この世に,「1そのもの」は存在しませんから!

記号としての「1」は存在していますが,これで「1そのもの」を表しているわけではありません.

「1」は,概念の世界にだけ存在するものなんですね.


自然数を定める基準となる最小の単位として「1」という概念があるとして,

 1の次の自然数が2

 その次の自然数が3

 ・・・・

と定義されていくのです.

“次” とうのは “+1” に対応していて,

 1の次は2 ☞1 “+1”=2

 2の次は3 ☞2 “+1”=3

 ・・・・

となっています.

う~ん,ややこしいですね(笑)


「1」には,掛け算においても特別な働きがあります.

自然数の掛け算は,

 2×3=(2を3個足したもの)=2+2+2=6

 3×2=(3を2個足したもの)=3+3=6

といった風に考えるのでした.

結果的に,「2×3」と「3×2」は一致するのでした.

では,1×2=?

 (1を2個足したもの)=1+1=2

ついでに,2×1=?

1×2と同じだから2,と答えても構いませんね.


1は,何に掛けても,相手の数を変えない唯一の存在,と考えることもできます.

ちょっと分かりにくいですよね?

要するに,こういうことです.

 1×●=●

 〇×1=〇

●や〇には,どんな数が入っても構いません.

何にかけても,計算結果は,相手の数(●や〇)そのままなのです.

「何に掛けても相手の数を変えない」というのは,こういう意味です.


“×1”という計算操作を施しても,“何も変わらない”のです.

逆数を考えるときに,「積が1になるもの」としました.

 2の逆数は,1/2

 2/3の逆数は,3/2

「1」の偉大さがちょっと見えてきますね.


「何に掛けても相手の数を変えない」というのは分かってきました.

でも,「唯一」って,どうして分かるんですか?


はい!とても良い質問ですね(自作自演)

最後にこれを考えて終わることにしましょう.

狐につままれたような気分になるかも知れませんが,頭の体操と思ってご覧ください.


「何に掛けても相手の数を変えない」数として「1」があるわけですが,他にもそんな数があったら,何が起こるでしょう?

Aは,「何に掛けても相手の数を変えない」数であるとしましょう.

「A=1」であることを証明したいのです(そうすれば,「何に掛けても相手の数を変えない」数は1だけだ,と分かります).


Aも数なので,Aに「1を掛けても」何も変わりません.

 A×1=A ……①

一方,1に「Aを掛ける」とどうなるか?とも考えることができて,

 1×A=1 ……②

掛け算の性質から,A×1と1×Aは同じ数を表すのでした.

ということは,①と②の左辺が同じ数を表すから,右辺同士も同じ数を表していることになります.

「2つの数は,ある同じものと等しいことが分かれば,等しいと分かる」というのは,数学の原則.つまり,

 x=y,z=yが分かれば,x=zが分かる

という論証は,正しいと認められています.

だから,①,②と「A×1=1×A」を合わせて,

 A=1

が分かるのです.


「何に掛けても相手の数を変えない」という性質は,「1」のみが持っているもので,これが「1」を特徴づけるものなのです.

 1×1×1×・・・×1=1

1は何回掛けても,1のまんま.

こんな素敵な数は,他にありません.

いくら掛けようが,相手をまったく変えない,とっても優しいヤツなんです(笑)