Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

「0」は何も無い,と思っていませんか?

0なんて何も無いことなんだから,どうでもよくない?

と思っている人,居ますよね?

でも,そんなことないんです.

1が大事なのと同じくらい,0も大事なんです!

先日,「1」の特殊な性質について書きました.

 

www.phi-math.com

 


少しだけ思い出しておきましょう.

掛け算ですごく活躍するのでした.

・何と掛けても,相手を変えない“唯一”の数

  a×1=1×a=a

  他にこんな数は無い!

・逆数の定義に必要

 2の逆数は1/2,なぜならば,2×(1/2)=1だから

 2/3の逆数は3/2,なぜならば,(2/3)×(3/2)=1だから

では,0は?

0が活躍するのは,「足し算」です.

1の性質の「×」を「+」に変えてみるのです.

まずは


・何と“足し”ても,相手を変えない“唯一”の数


これって,どういう意味でしょう?


  a+?=?+a=a


このような数はありますか?

そうですね,0なんです.

  a+0=0+a=a

“+0”という計算操作を施しても,数値は決して変化しないのです.


  (掛け算での「1」の役割)=(足し算での「0」の役割)


というイメージなのですけど,いかがでしょうか?

とにかく,無くてはならない大事な数なのだな,とはわかっていただけると思います.


「1」の時に,最後にややこしいことを確認しました.

“唯一”かどうか?の部分です.

「1」の説明のときと同じように考えて,足しても相手の数を変えない“唯一の数”だということを考えてみましょうか.

(コピペして,×を+に変えて,1を0に変えたら,ほぼ完成です)

では,やってみましょう!

「0」は唯一無二の存在!?


「何に足しても相手の数を変えない」数として「0」があるわけですが,他にもそんな数があったら,何が起こるでしょう?

Aは,「何に足しても相手の数を変えない」数であるとしましょう.

「A=0」であることを証明したいのです(そうすれば,「何に足しても相手の数を変えない」数は0だけだ,と分かります).


Aも数なので,Aに「0を足しても」何も変わりません.

 A+0=A ……①

一方,0に「Aを足す」とどうなるか?とも考えることができて,

 0+A=0 ……②

足し算の性質から,A+0と0+Aは同じ数を表すのでした.

ということは,①と②の左辺が同じ数を表すから,右辺同士も同じ数を表していることになります.

「2つの数は,ある同じものと等しいことが分かれば,等しいと分かる」というのは,数学の原則.つまり,

 x=y,z=yが分かれば,x=zが分かる

という論証は,正しいと認められています.

だから,①,②と「A+0=0+A」を合わせて,

 A=0

が分かるのです.


「何に足しても相手の数を変えない」という性質は,「0」のみが持っているもので,これが「0」を特徴づけるものなのです.

 0+0+0+・・・+0=0

0は何回足しても,0のまんま.

こんな素敵な数は,他にありません.

いくら足そうが,相手をまったく変えない,とっても優しいヤツなんです(笑)


よし,本当にコピペして,ちょっと直すだけでいけました.

こういう類似性を見つけることができるのも,数学の面白いところですね.

同じような「構造」をしている,という表現もできます.

でも,もちろん,違うところもあります.


「0」の話の続きは,また後日.

まだ“逆数”に対応する数の話もしていないですもんね.