Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

(-1)×(-1)が1になる理由を,計算だけで,正確に議論してみると・・・

理解の上書きシリーズです.

 

 (-1)×(-1)=1

法則として理解していて,計算で使いこなせる人が多いですが,こうなる理由を明確に述べることって,案外,難しいのです.


・数直線上に数字を並べていくとき,0よりも右にあるのが正の数,

 左にあるのが負の数.

・0から,左に距離1だけ進んだところにある数が,-1.

そんなイメージでしょうか?


それとも,

・1円の借金のこと

・南向きに-1進んだら,北に1進んだことになる

・マイナスとマイナスを掛けたらプラスだから,(-1)×(-1)=1

などが思いつくでしょうか?


そもそも,-1って,正確には何のことなんでしょう?

 (-1)×(-1)=1

を法則ではなく,数の定義から厳密に導こうとすると,「-1って,何だ!?」に答えることが必要になります.


実は,-1は,「和」を使って定義するのが正解です.

つまり,

 1+a=0

を満たす数がただ1つ存在して,それをa=-1と表すことにしているのです.

 1+(-1)=0

これが定義です.


一方,引き算で

 1-1=0

となることも知っています.

 

だから,数に対して計算を施す(作用させる)という観点から言うと,

 +(-1) と -1

は同じ作業を表しています.

 3+(-1) と 3-1

は同じ計算結果を表していて,

 3+(-1)=3-1=2

です.

ところで,

 2+3=5

 3+2=5

のように,足し算って,足す順番を変えても,計算結果は同じになります.

だから,

 1+a=0

と同じ計算結果になるのが

 a+1=0

です.つまり,

 (-1)+1 も 0

を表しています.

意外とややこしいですね.


では,この辺で,

 (-1)×(-1)=1

の証明に移りましょう.

(-1)×(-1) が 1 である,と特定する感じで見ていきます.

 1に他ならない.

 だって,そんな数は1だけだもん.

という感じです.


唐突に感じるかも知れませんが,(-1)×(-1)-1 を計算してみます.

  (-1)×(-1)-1

 =(-1)×(-1)+(-1) ☜ -1と+(-1)は同じ計算操作

 =(-1)×(-1)+(-1)×1 ☜ 1を掛けても,値は変わらない

 =(-1)×(-1+1) ☜ 分配法則

 =(-1)×0 ☜ -1の定義

 =0 ☜ 0を掛けたら,必ず0になる

つまり,

 (-1)×(-1)-1=0

(-1)×(-1)から1を引くと0になる.

1を引いたら0になるような数は,1のみだから,(-1)×(-1)は1と一致するはず!

 

だから,

 (-1)×(-1)=1

なんですね.