理解の上書きシリーズです．
(-1)×(-1)=1
法則として理解していて，計算で使いこなせる人が多いですが，こうなる理由を明確に述べることって，案外，難しいのです．
・数直線上に数字を並べていくとき，0よりも右にあるのが正の数，
左にあるのが負の数．
・0から，左に距離１だけ進んだところにある数が，-1．
そんなイメージでしょうか？
それとも，
・1円の借金のこと
・南向きに-１進んだら，北に１進んだことになる
・マイナスとマイナスを掛けたらプラスだから，(-1)×(-1)=1
などが思いつくでしょうか？
そもそも，-1って，正確には何のことなんでしょう？
(-1)×(-1)=1
を法則ではなく，数の定義から厳密に導こうとすると，「-1って，何だ！？」に答えることが必要になります．
実は，-1は，「和」を使って定義するのが正解です．
つまり，
1+a=0
を満たす数がただ１つ存在して，それをa=-1と表すことにしているのです．
1+(-1)=0
これが定義です．
一方，引き算で
1-1=0
となることも知っています．
だから，数に対して計算を施す（作用させる）という観点から言うと，
+(-1) と -1
は同じ作業を表しています．
3+(-1) と 3-1
は同じ計算結果を表していて，
3+(-1)=3-1=2
です．
ところで，
2+3=5
3+2=5
のように，足し算って，足す順番を変えても，計算結果は同じになります．
だから，
1+a=0
と同じ計算結果になるのが
a+1=0
です．つまり，
(-1)+1 も 0
を表しています．
意外とややこしいですね．
では，この辺で，
(-1)×(-1)=1
の証明に移りましょう．
(-1)×(-1) が 1 である，と特定する感じで見ていきます．
１に他ならない．
だって，そんな数は１だけだもん．
という感じです．
唐突に感じるかも知れませんが，(-1)×(-1)-1 を計算してみます．
(-1)×(-1)-1
=(-1)×(-1)+(-1) ☜ -1と+(-1)は同じ計算操作
=(-1)×(-1)+(-1)×1 ☜ 1を掛けても，値は変わらない
=(-1)×(-1+1) ☜ 分配法則
=(-1)×0 ☜ -1の定義
=0 ☜ 0を掛けたら，必ず0になる
つまり，
(-1)×(-1)-1=0
(-1)×(-1)から１を引くと０になる．
１を引いたら０になるような数は，1のみだから，(-1)×(-1)は１と一致するはず！
だから，
(-1)×(-1)=1
なんですね．