Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

掛け算は,どこからやっても,同じ答えになる

2×3×4って,いくらになりますか?

答えは24ですが,どうやって計算しましたか?

 2×3=6 だから

 6×4 を計算して 24

とした人もいれば,

 3×4=12 だから

 2×12 を計算して 24

あるいは,

 2×3=3×2 だから

 3×2×4 を計算したものと同じ

 2×4=8 だから

 3×8 を計算して 24

なんて人も,もしかしたら居るかも知れません(きっと,居ないですね(笑))


このように,掛け算って,どういう風に計算しても,同じ結果になるんです.

この安心感があるから,自由に計算できるんです.


例えば,2×3×4×5を計算すると?

 (2×5)×(3×4) と考えることができて,

 2×5=10 と 3×4=12 から

 10×12 を計算して 120

10が作れたら,計算は簡単ですね.


他にも,24×25だったら?

 25=5×5 で10を作るために

 24=6×2×2 と考えたら

 6×(2×5)×(2×5) なので

 6×10×10 を計算して 600

となります.

「10を作りたい」と強く願えば,このような計算をやろうと思えますね.

(本当に思ってくれていますか??思おうとすることが大事なんですよ!)


さて,先日,

 (-1)×(-1)=1

となることを,ガッツリ,式で証明しました.

 

 

www.phi-math.com

 

では,

 (-1)×2=-2

となるのは,どうしてなんでしょう?

これも,いざ理由を聞かれたら,困ってしまいませんか?

だって,「-2」が何なのか,パッと分からないですから.

「-2」は,

 2+a=0 となる唯一の数a

のこと.つまり,

 2+(-2)=0

です.

 2-2=0

でもあるから,「(-2)を足す」と「2を引く」は同じ計算になります.


では,(-1)×2に2を足すことで,何が起こるでしょう?

これが0になってくれたら,何が分かるでしょう?

そう,「(-1)×2=-2」が分かります.

だから,(-1)×2+2を計算してみます.

「0になれ!」と強く願いながら・・・

  (-1)×2+2

 =(-1)×2+1×2

 =(-1+1)×2

 =0×2

 =0

で,予定通り,0になりました!

 (-1)×2+2=0

だから,

 (-1)×2=-2

となることが分かりました!

う~ん,ヤヤコシイ!


 マイナスを掛けたら,マイナスになるんだ!

 そんなもんだ,覚えろ!


と言って良ければ楽なんですけど・・・

計算ルールは分かっても,どうしてそういう計算になるのかは,案外,分かっていない人が多いのですね.


では,最後に,(-2)×3を考えてみましょう.

中学校で習った通り,答えは,-6です.

でも,本当ですか?

厳密に,説明してみるとどうなるでしょう?


たまには,宿題にしてみましょうか.

続きは,また明日.