0.333333333･････････
って、何でしょう？
“･････････” は，3がず〜っと続くことを意味しています．
これが 3分の1（１／３）だと “知っている” 人は多いでしょうが、理解できている人は少ないかも知れません。
だって、これ、「数」じゃありませんから！
「極限」ですから！
細かいことを気にせず，雰囲気を感じてもらえたらと思います．
極限？
小数点以下に、３が、
どこまでも、
限りなく、
永遠に、
絶えることなく、
続いていくのです。
このようなものは、「極限」と言って、難しい言葉で言うと「近付かれる対象としての数値」になっています。
“何か” が、
どんどん、
どこまでも、
限りなく、
近付く先としての数値なのです。
「“何か” が何であるか？」の答えと、近付くということの意味を考えてみようと思います。
これ、極限という概念が生まれたばかりの頃、当時の天才数学者たちも理解に苦しんだそうですから、かなり難しい概念です。
何とか腑に落ちてもらえるように、頑張ってみようと思います（わかりにくかったら、ゴメンナサイ）。
結論を言うと、
0.333333333･････････
というのは、
0.3，0.33，0.333，0.3333,･････････
という風に数を並べていくときに、並ぶ数が「限りなく近付く値」を表すものです。
3がずっと続くものは、普通の意味での「数」じゃないのです！
0.3，0.33，0.333，0.3333,･････････
という並びが近付く先にある対象を、「象徴的」に表現するものです。
それが、数値としては、１／３と一致する、というのが正しい理解です。
１／３というと、１÷３のこと。
電卓で１÷３を計算すると
0.333333333333 （3を12個並べてみました，個数に意味は無いです）
などと表示されると思います。
けっこう多くの３が並びますが、所詮は有限個です。どこまでも並んでいる訳ではありません。
0.333333333･････････
は、終わりなく、どこまでも３が並び続けています（そんなもの、数字じゃない！はい、その通り！）。
上に書いた3が12個並ぶ
0.333333333333
は、分数で書くと
333333333333／1000000000000
です。
(3が12個)／(1の後に0が12個）
です。
分母が、１だけ小さくて
333333333333／999999999999
だったら、ちょうど１／３だったんですけどね（約分できるからですね）。
電卓が「１÷３」の答えとして表示する
0.333333333333
は、厳密な意味では，１／３ではないのです！
でも、
333333333333／1000000000000
と
333333333333／999999999999
はかなり近い数です。
この感覚が大事です．
並ぶ数の個数が増えたら，もっともっと近い数になります．
33333333333333333／100000000000000000
と
33333333333333333／99999999999999999
は，もう，ほとんど同じ値を表しています（ほんのちょっとだけ違いますが），
では、まとめ。
0.3，0.33，0.333，0.3333,･････････
というのは
3/10，33/100，333/1000，3333/10000,･････････
のこと。
分母が1ずつ小さかったら
3/9，33/99，333/999，3333/9999,･････････
で、全部1/3なのに。
でも、後に並ぶ数ほど1/３に近付いていますね。
その近付きっぷりは、どこかで止まるものではなく、どこまでも近くなるのです。
だから、極限と呼ぶ！
0.3，0.33，0.333，0.3333,･････････
と数を並べていっていくと、どこまでも1/3に近い値になる、というのを
0.333333333･････････＝1/3
と表すのですね（象徴的な表現です）。
頑張って説明しましたが、いかがでしたか？
ちょっと難しいですね・・・