0.333333333・・・・・・・・・
って、何でしょう?
“・・・・・・・・・” は,3がず〜っと続くことを意味しています.
これが 3分の1(1/3)だと “知っている” 人は多いでしょうが、理解できている人は少ないかも知れません。
だって、これ、「数」じゃありませんから!
「極限」ですから!
細かいことを気にせず,雰囲気を感じてもらえたらと思います.
極限?
小数点以下に、3が、
どこまでも、
限りなく、
永遠に、
絶えることなく、
続いていくのです。
このようなものは、「極限」と言って、難しい言葉で言うと「近付かれる対象としての数値」になっています。
“何か” が、
どんどん、
どこまでも、
限りなく、
近付く先としての数値なのです。
「“何か” が何であるか?」の答えと、近付くということの意味を考えてみようと思います。
これ、極限という概念が生まれたばかりの頃、当時の天才数学者たちも理解に苦しんだそうですから、かなり難しい概念です。
何とか腑に落ちてもらえるように、頑張ってみようと思います(わかりにくかったら、ゴメンナサイ)。
結論を言うと、
0.333333333・・・・・・・・・
というのは、
0.3,0.33,0.333,0.3333,・・・・・・・・・
という風に数を並べていくときに、並ぶ数が「限りなく近付く値」を表すものです。
3がずっと続くものは、普通の意味での「数」じゃないのです!
0.3,0.33,0.333,0.3333,・・・・・・・・・
という並びが近付く先にある対象を、「象徴的」に表現するものです。
それが、数値としては、1/3と一致する、というのが正しい理解です。
1/3というと、1÷3のこと。
電卓で1÷3を計算すると
0.333333333333 (3を12個並べてみました,個数に意味は無いです)
などと表示されると思います。
けっこう多くの3が並びますが、所詮は有限個です。どこまでも並んでいる訳ではありません。
0.333333333・・・・・・・・・
は、終わりなく、どこまでも3が並び続けています(そんなもの、数字じゃない!はい、その通り!)。
上に書いた3が12個並ぶ
0.333333333333
は、分数で書くと
333333333333/1000000000000
です。
(3が12個)/(1の後に0が12個)
です。
分母が、1だけ小さくて
333333333333/999999999999
だったら、ちょうど1/3だったんですけどね(約分できるからですね)。
電卓が「1÷3」の答えとして表示する
0.333333333333
は、厳密な意味では,1/3ではないのです!
でも、
333333333333/1000000000000
と
333333333333/999999999999
はかなり近い数です。
この感覚が大事です.
並ぶ数の個数が増えたら,もっともっと近い数になります.
33333333333333333/100000000000000000
と
33333333333333333/99999999999999999
は,もう,ほとんど同じ値を表しています(ほんのちょっとだけ違いますが),
では、まとめ。
0.3,0.33,0.333,0.3333,・・・・・・・・・
というのは
3/10,33/100,333/1000,3333/10000,・・・・・・・・・
のこと。
分母が1ずつ小さかったら
3/9,33/99,333/999,3333/9999,・・・・・・・・・
で、全部1/3なのに。
でも、後に並ぶ数ほど1/3に近付いていますね。
その近付きっぷりは、どこかで止まるものではなく、どこまでも近くなるのです。
だから、極限と呼ぶ!
0.3,0.33,0.333,0.3333,・・・・・・・・・
と数を並べていっていくと、どこまでも1/3に近い値になる、というのを
0.333333333・・・・・・・・・=1/3
と表すのですね(象徴的な表現です)。
頑張って説明しましたが、いかがでしたか?
ちょっと難しいですね・・・