Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

0.333333333・・・・・・・・・の “真” の姿

 0.333333333・・・・・・・・・

って、何でしょう?

“・・・・・・・・・” は,3がず〜っと続くことを意味しています.

 

これが 3分の1(1/3)だと “知っている” 人は多いでしょうが、理解できている人は少ないかも知れません。

だって、これ、「数」じゃありませんから!

「極限」ですから!

細かいことを気にせず,雰囲気を感じてもらえたらと思います.

 

極限?

小数点以下に、3が、

 どこまでも、

 限りなく、

 永遠に、

 絶えることなく、

続いていくのです。

このようなものは、「極限」と言って、難しい言葉で言うと「近付かれる対象としての数値」になっています。

 

“何か” が、

 どんどん、

 どこまでも、

 限りなく、

近付く先としての数値なのです。


「“何か” が何であるか?」の答えと、近付くということの意味を考えてみようと思います。

これ、極限という概念が生まれたばかりの頃、当時の天才数学者たちも理解に苦しんだそうですから、かなり難しい概念です。

何とか腑に落ちてもらえるように、頑張ってみようと思います(わかりにくかったら、ゴメンナサイ)。


結論を言うと、

 0.333333333・・・・・・・・・

というのは、

 0.3,0.33,0.333,0.3333,・・・・・・・・・

という風に数を並べていくときに、並ぶ数が「限りなく近付く値」を表すものです。

 

3がずっと続くものは、普通の意味での「数」じゃないのです!

 0.3,0.33,0.333,0.3333,・・・・・・・・・

という並びが近付く先にある対象を、「象徴的」に表現するものです。

それが、数値としては、1/3と一致する、というのが正しい理解です。


1/3というと、1÷3のこと。

電卓で1÷3を計算すると

 0.333333333333 (3を12個並べてみました,個数に意味は無いです)

などと表示されると思います。

けっこう多くの3が並びますが、所詮は有限個です。どこまでも並んでいる訳ではありません。 

 0.333333333・・・・・・・・・

は、終わりなく、どこまでも3が並び続けています(そんなもの、数字じゃない!はい、その通り!)。

 

上に書いた3が12個並ぶ

 0.333333333333

は、分数で書くと

 333333333333/1000000000000

です。

 (3が12個)/(1の後に0が12個)

です。

分母が、1だけ小さくて

 333333333333/999999999999

だったら、ちょうど1/3だったんですけどね(約分できるからですね)。

電卓が「1÷3」の答えとして表示する

 0.333333333333

は、厳密な意味では,1/3ではないのです!

 

でも、

 333333333333/1000000000000

 333333333333/999999999999

はかなり近い数です。

この感覚が大事です.

並ぶ数の個数が増えたら,もっともっと近い数になります.

 33333333333333333/100000000000000000

 33333333333333333/99999999999999999

は,もう,ほとんど同じ値を表しています(ほんのちょっとだけ違いますが),

 

では、まとめ。

 0.3,0.33,0.333,0.3333,・・・・・・・・・

というのは

 3/10,33/100,333/1000,3333/10000,・・・・・・・・・

のこと。

分母が1ずつ小さかったら

 3/9,33/99,333/999,3333/9999,・・・・・・・・・

で、全部1/3なのに。

でも、後に並ぶ数ほど1/3に近付いていますね。

その近付きっぷりは、どこかで止まるものではなく、どこまでも近くなるのです。

だから、極限と呼ぶ!

 

 0.3,0.33,0.333,0.3333,・・・・・・・・・

と数を並べていっていくと、どこまでも1/3に近い値になる、というのを

 0.333333333・・・・・・・・・=1/3

と表すのですね(象徴的な表現です)。

 


頑張って説明しましたが、いかがでしたか?

ちょっと難しいですね・・・