先日,
0.333333・・・・・・・・・
の意味を説明しました.
0.3,0.33,0.333,0.3333,・・・・・・・・・
とずっと並べるとき,どういう値に近づくかを考えるのでした.
その近づく先の値のことを,象徴的に
0.3333・・・・・・・・・
と,ず~っと3が続く形で表現するのでした.
極限としての数で,通常とは違う表記ですが,値としては1/3を表すのでした.
「3では割り切れず,ず~っと3が続く」と見ることもできます.
では,1を2で割ると?
1/2=0.5
すぐに割り切れて,有限の並びで終わる小数になります.
では,こう書いたら,どう思いますか?
1/2=0.499999・・・・・・・・・
極限で表されています.
どんな数を並べているかというと,
0.4,0.49,0.499,0.4999,・・・・・・・・・
です.分数で書くと
4/10,49/100,499/1000,4999/10000,・・・・・・・・・
です.
分子が1だけ大きかったら・・・
5/10,50/100,500/1000,5000/10000,・・・・・・・・・
で,全部,1/2なんですよね.
だから,極限として
0.499999・・・・・・・・・
が何を表しているかというと・・・
0.499999・・・・・・・・・=1/2
に他なりません!
不思議ですね(笑)
実は,0.5も無限小数に変えることができます.
なんと
0.50000・・・・・・・・・
と考えるんです.
つまり,極限としては,
0.5,0.50,0.500,0.5000,・・・・・・・・・
と並べるときに,並ぶ数が近づいていく値.
全部1/2なので,もちろん,1/2です.
だから,
0.50000・・・・・・・・・=1/2
なんです.
ということで,極限の世界では
0.499999・・・・・・・・・=0.50000・・・・・・・・・
ってことなんです.
二つの極限が一致している.
一つの分数を二通りで表せるのが不思議ですね.
まとめ
1/3のように,無限小数でしか表せない数
と
1/2のように,無限小数と有限小数で表せる数
がある.
後者は,有限小数を無限小数で書くこともできて,小数表記が2つある!
(無理数という,さらに変わった数もあります.円周率とか,√2とか.またそんなお話もしてみようと思います.)