Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

1/2が割り切れるとは,限りません

先日,

  0.333333・・・・・・・・・

の意味を説明しました. 

 

www.phi-math.com

 

 0.3,0.33,0.333,0.3333,・・・・・・・・・

とずっと並べるとき,どういう値に近づくかを考えるのでした.

その近づく先の値のことを,象徴的に

 0.3333・・・・・・・・・

と,ず~っと3が続く形で表現するのでした.

極限としての数で,通常とは違う表記ですが,値としては1/3を表すのでした.

 

「3では割り切れず,ず~っと3が続く」と見ることもできます.

 

では,1を2で割ると?

 1/2=0.5

すぐに割り切れて,有限の並びで終わる小数になります.

 

では,こう書いたら,どう思いますか?

 

 1/2=0.499999・・・・・・・・・

 

極限で表されています.

どんな数を並べているかというと,

 0.4,0.49,0.499,0.4999,・・・・・・・・・

です.分数で書くと

 4/10,49/100,499/1000,4999/10000,・・・・・・・・・

です.

分子が1だけ大きかったら・・・

  5/10,50/100,500/1000,5000/10000,・・・・・・・・・

で,全部,1/2なんですよね.

だから,極限として

 0.499999・・・・・・・・・

が何を表しているかというと・・・

 0.499999・・・・・・・・・=1/2

に他なりません!

不思議ですね(笑)

 

実は,0.5も無限小数に変えることができます.

なんと

 0.50000・・・・・・・・・

と考えるんです.

つまり,極限としては,

 0.5,0.50,0.500,0.5000,・・・・・・・・・

と並べるときに,並ぶ数が近づいていく値.

全部1/2なので,もちろん,1/2です.

だから,

 0.50000・・・・・・・・・=1/2

なんです.

 

ということで,極限の世界では

 0.499999・・・・・・・・・=0.50000・・・・・・・・・

ってことなんです.

二つの極限が一致している.

 

一つの分数を二通りで表せるのが不思議ですね.

 

まとめ

 1/3のように,無限小数でしか表せない数

 1/2のように,無限小数と有限小数で表せる数

がある.

後者は,有限小数を無限小数で書くこともできて,小数表記が2つある!

(無理数という,さらに変わった数もあります.円周率とか,√2とか.またそんなお話もしてみようと思います.)