Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

極限を真面目に解説してみる① 「∞は,“ある”のではなく,“する”のです」

∞は,「ある」のではなく,「する」と思うと良いでしょう.

そんなものは「無い」のです.

その状態に「なる」「する」のです.

その状態のことを「考える」のです.

 

と,唐突に哲学的な雰囲気になっております(笑)

これが今回のテーマです.

 

さて,先日の記事について,コメントちょうだいしました.

 

www.phi-math.com

 

***

 0.000001=0.000000

とか,

 0.0000……01=0.0000……00

とか,やって良いのだったら,

 0=1

になってしまうじゃないか!?

***


その通りなんです!

だから,「極限でも,そんなことをやってはいないんです」という話をしてみようと思います.

1回ではとても終わりそうにないので,何回かに分けて.

ということで,今回は,「∞」について説明してみようと思います.

 

 ∞

コレ,何て読むか,ご存知でしょうか?

「横になった8」なんてボケはしませんよ(笑)

 

「無限」と思った人,いませんか?

実は,違うんです.

「無限大」なんです.

“大”がないとダメなんです!!

 

何が違うの?

と言われそうですね.

でも,これが大事なんです.

 

 きくなる(大きくする)

 

という「動き」を表しています.

だから,∞は「数」ではなく,

 「動き」

 「状態」

 「雰囲気」

とでも言うべきものです.

だから

 n=∞ ☜ダメ!

という書き方は,決して許されません.

 n→∞

と書きます.

 nは,限りなく大きい ☜ダメ!

とは決して言わず,

 nを,限り無く大きくする

のです.

 

いま,nは自然数1,2,3,・・・・・・を表す文字としています.

自然数はどれだけ並べても終わりは無く,ドコまでも続いています.

人が数を「並べている」というのではなく,元から「並んでいる」と捉えるのが良いと思います.

元々並んでいるものに,人が,理解しやすいように,数に名前をつけている感じです.

 最初のものを「1」と呼ぼう.

 その次は,「2」だ.

 ・・・・・・

という具合に.

 

どこまでも並んでいるのだから,ずっと先がどうなっているのかを考えたくなります.

それが極限です.

 

具体例で

例えば,

 1,3,5,7,9,・・・・・・

と奇数が順に並んでいるとします.

次に並ぶのは,11です.

これは6番目の数.

並ぶ数は,2ずつ増えているから,6番目の数である11は,2×6-1と表すことができます.

1000番目に並んでいる数は,2×1000-1=1999のはずです.

一般的に,n番目に並んでいる数は,2n-1と表示されます.

 

では,nを限りなく大きくすると,2n-1の値はどうなるでしょう?

これも「限りなく大きくなる」と答えることができます.

大きくなり具合は,nよりも強いです.

しかし,「動き」としては,「限りなく大きくなる」であると言えます.

 

これを

 2n-1→∞ (n→∞)

と書きます.

数字ではないから,「=」は使わず,「→」を使うのでした.

極限(limit)として,「こういう状態になる」と表すのです.

 lim(n→∞) (2n-1)=∞

という表記も許されます.

limと書いたら,「数」ではなく,「極限」のことだな,と分かるからです.

「数」ではなく,「動き」を表しているんだな,と.

 

最後に,1つ,大事なこと

∞は「数」ではなく,「限りなく大きくなる」という「動き」を表す記号.

だから,数のような計算はできません.

つまり,「n→∞を代入して

 2n-1→2×∞-1」

のような書き方は,決して許されません.

無限大を冒涜していることになります!!

 

「極限は,“限りなく大きくなる”です」と答えるだけにすることが大事なのです.

 lim(n→∞) (2n-1)=∞

 

∞は,「ある」のではなく,「する」と思うと良いでしょう.

そんなものは「無い」のです.

その状態に「なる」「する」のです.

その状態のことを「考える」のです.