Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

1/2が割り切れるとは,限りません②

先日の記事に色々とコメントいただきました!

ありがとうございます!!

 

ブログって良いですね.

 

www.phi-math.com

 

実は,私,数学の本や雑誌記事をよく書いているのですが,1人で考えているとやはり偏ってしまいます.

ブログで公開しながら書くと,色んな人の感想を取り入れながら書けるので,なんかいいですね!

このブログもいつか書籍化してみようと思います!

みなさま,今後とも,アイデアのご提供,内容へのご指摘など,よろしくお願いします!

ブログを始めて数か月,やってよかった,と強く感じています!!

 

さて,今回のテーマ.

 

「1/2が割り切れる」って表現,おかしくない?

その通りなんです!

おかしいけれど,タイトルはそのまま行ってしまいます.

 

だって,そもそも1÷2は,整数の範囲での割り算でも

  1=2×0+1 ☞商は0で,余りは1

となっていて,割り切れていませんから(笑)

 

1/2を小数で表すときに,「有限の小数で表せる」というのを,「1/2は割り切れる」と表現してしまったのですね.

そう書いても何となく通じてしまった人が多いと思うのですが,その理由を説明してみようと思います.

 

また,1/2が有限小数にならないような視点を指摘してくださっている方も何人かいらっしゃいました.

「3進法」という考え方なのですが,それは極限も関わってくるので,また別記事にしてみようと思います.

1回限りのネタにするつもりだったのが,話が広がってきて,とても嬉しいです.

 

 

話を本題に戻します.

 

有限の小数で表せるというのは,どういうこと?

実は,分母の数字がどんなものであるか,を考えたら分かってしまいます.

例をたくさん挙げながら説明していくので,法則を見つけようと思いながら読んでもらえると嬉しいです(結論を知っている人,退屈な記事です.スイマセン・・・).

 

1/2は有限の小数で表せました.

  1/2=0.5

 

(前記事は,「数表記が1通りとは限らない」というテーマだったので,

  1/2=0.4999・・・・・・

  1/2=0.5000・・・・・・

と,無理やりに表記しました)

 

これを詳しくみていきましょう.

 

  1.0000・・・・・・

の小数点を,1つ右に移すと,10が得られます.

10は2で割り切れます(整数の割り算).

  10=2×5+0 ☞商は5で,余りは0

実は,これが,「有限の小数で表される」の極意になっています.

 

  1/2=0.5

が成り立っているので,それぞれ10倍した値も等しいです.

  10/2=5

これが整数での普通の割り算で,「割り切れた」ということです.

 

次の例.

3/25も有限の小数になります.なぜなら・・・

  3.0000・・・・・・

の小数点を2つ右に移すと,300になって

  300=25×12 ☜割り切れた!

です.

  300/25=12

となるから,100で割ることで,

  3/25=0.12

という有限の小数になるのです.

 

分母がどういう数だったら有限小数になるか?

法則は見つかりそうですか?

 

分子の小数点をいくつかずらす(10倍,100倍,1000倍,・・・・・する)ことで,割り切れる数を作ることができるか?

 

これが大事なのです.

 

1/3は,割り切れません.

なぜ?

 

  1,10,100,1000,・・・・・・

のどれを考えても,3で割り切れないから.

 

1/40 はどうでしょう?

  1,10,100,1000,・・・・・・

と見ていくと,

  1000=40×25 ☜割り切れた!

となるので,

  1000/40=25

1000で割る,つまり,25.0000・・・・・・の小数点を3つ左にずらすことで

  1/40=0.025

と分かります!

 

分母がどういうときに割り切れるか?

もっとシンプルにいうと,

  35=5×5

  40=2×2×2×5

のように,素因数分解したときに2,5だけしか現れないとき.

 

これは,数字を10進法で表しているから!

  10=2×5

 

10進法で,小数点を1つずらすのは,

  右にずらす・・・10倍するということ

  左にずらす・・・1/10倍するということ

だから,10の素因数2,5がキーになるのです.

 

では,3進法だったら・・・?

このお話はまたの機会に.