誤解を恐れないタイトルにしました．
厳しい追及はしないでください（笑）．
先日の記事
に書いたように
0.111111……=1/9
だったはず．
それが，1/2って，なに？
イミフメイ・・・
ということで（？），今回は，10進法と3進法の話です．
0.111111……=1/9
の意味は何でしたっけ？
「極限」です．
0.1, 0.11, 0.111, 0.1111, ……
という数の並び（「数列」と言います）があるとき，ず～っと先まで考えると，「並ぶ値が限りなく1/9に近づく」ということを表すのでした．
この小数，実は，10進法で考えているから，1/9に近づくのですが，10進法でない場合は，違う数に近づくことがあります．
3進法の場合が，1/2になるのですが，それを説明するのが今回の最終テーマ．
とりあえず，10進法の意味から．
0.1=1/10
0.01=1/100=(1/10)2 (1/10の2乗）
0.001=1/1000=(1/10)3 (1/10の3乗）
0.0001=1/10000=(1/10)4 (1/10の4乗）
……
であることは納得いただけるでしょうか．
これを使うと，例えば
0.1111=0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001
と考えることができます．
つまり，
0.1111=1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/1000
です．さらに言うと
0.1111=1/10 + (1/10)^2 + (1/10)^3 + (1/10)^4
です．
10進法だから，
1/10, (1/10)^2, (1/10)^3, (1/10)^4, ……
を考えているのです．
では，3進法だったら？
10が3に代わるので・・・
0.1111(3)=1/3 + (1/3)^2 + (1/3)^3 + (1/3)^4
を表すことになります．
3進法であることをアピールするために，（3）を付けました．
これが無いと，何進法だか，分からないですものね．
だから，タイトルの書き方は，ルール違反です（御免なさい）．
よし，では，計算してみましょう．
0.1111(3)=1/3 + (1/3)^2 + (1/3)^3 + (1/3)^4
=1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81
=(27 + 9 + 3 + 1)/81
=40/81
です．
「おっ！？」
と思ってもらえましたか？
1/2の香りが漂ってまいりました（笑）
0.1(3)=1/3
0.11(3)=1/3 + 1/9 = 4/9
0.111(3)=1/3 + 1/9 + 1/27 = 13/27
0.1111(3)=40/81
……
分母が1だけ小さかったら，
1/2, 4/8, 13/26, 40/80,……
で，どれも1/2ですね！！
ということで，
0.1(3), 0.11(3), 0.111(3), 0.1111(3), ……
という数列で，ず～っと並んだ先に限りなく近づく値は？
そう考えると，
1/2=0.111111……(3)
となってしまうのですね．
●進法を何にするかによって，1つの数でも色んな形の“極限”で表せるのです！
※この法則がずっと続くことを確認しようとすると，「等比数列の和の公式」を使うことになります．
それはまたの機会に．