誤解を恐れないタイトルにしました.
厳しい追及はしないでください(笑).
先日の記事
に書いたように
0.111111……=1/9
だったはず.
それが,1/2って,なに?
イミフメイ・・・
ということで(?),今回は,10進法と3進法の話です.
0.111111……=1/9
の意味は何でしたっけ?
「極限」です.
0.1, 0.11, 0.111, 0.1111, ……
という数の並び(「数列」と言います)があるとき,ず~っと先まで考えると,「並ぶ値が限りなく1/9に近づく」ということを表すのでした.
この小数,実は,10進法で考えているから,1/9に近づくのですが,10進法でない場合は,違う数に近づくことがあります.
3進法の場合が,1/2になるのですが,それを説明するのが今回の最終テーマ.
とりあえず,10進法の意味から.
0.1=1/10
0.01=1/100=(1/10)2 (1/10の2乗)
0.001=1/1000=(1/10)3 (1/10の3乗)
0.0001=1/10000=(1/10)4 (1/10の4乗)
……
であることは納得いただけるでしょうか.
これを使うと,例えば
0.1111=0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001
と考えることができます.
つまり,
0.1111=1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/1000
です.さらに言うと
0.1111=1/10 + (1/10)^2 + (1/10)^3 + (1/10)^4
です.
10進法だから,
1/10, (1/10)^2, (1/10)^3, (1/10)^4, ……
を考えているのです.
では,3進法だったら?
10が3に代わるので・・・
0.1111(3)=1/3 + (1/3)^2 + (1/3)^3 + (1/3)^4
を表すことになります.
3進法であることをアピールするために,(3)を付けました.
これが無いと,何進法だか,分からないですものね.
だから,タイトルの書き方は,ルール違反です(御免なさい).
よし,では,計算してみましょう.
0.1111(3)=1/3 + (1/3)^2 + (1/3)^3 + (1/3)^4
=1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81
=(27 + 9 + 3 + 1)/81
=40/81
です.
「おっ!?」
と思ってもらえましたか?
1/2の香りが漂ってまいりました(笑)
0.1(3)=1/3
0.11(3)=1/3 + 1/9 = 4/9
0.111(3)=1/3 + 1/9 + 1/27 = 13/27
0.1111(3)=40/81
……
分母が1だけ小さかったら,
1/2, 4/8, 13/26, 40/80,……
で,どれも1/2ですね!!
ということで,
0.1(3), 0.11(3), 0.111(3), 0.1111(3), ……
という数列で,ず~っと並んだ先に限りなく近づく値は?
そう考えると,
1/2=0.111111……(3)
となってしまうのですね.
●進法を何にするかによって,1つの数でも色んな形の“極限”で表せるのです!
※この法則がずっと続くことを確認しようとすると,「等比数列の和の公式」を使うことになります.
それはまたの機会に.