Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

1/2=0.111111……?  1/2が割り切れるとは,限りません③

誤解を恐れないタイトルにしました.

厳しい追及はしないでください(笑).

 

www.phi-math.com

 

 

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先日の記事

 

www.phi-math.com

 

に書いたように
  0.111111……=1/9
だったはず.

それが,1/2って,なに?

イミフメイ・・・

 

ということで(?),今回は,10進法と3進法の話です.

 

  0.111111……=1/9
の意味は何でしたっけ?
「極限」です.
  0.1, 0.11, 0.111, 0.1111, ……
という数の並び(「数列」と言います)があるとき,ず~っと先まで考えると,「並ぶ値が限りなく1/9に近づく」ということを表すのでした.

この小数,実は,10進法で考えているから,1/9に近づくのですが,10進法でない場合は,違う数に近づくことがあります.
3進法の場合が,1/2になるのですが,それを説明するのが今回の最終テーマ.

 

とりあえず,10進法の意味から.

  0.1=1/10
  0.01=1/100=(1/10)2 (1/10の2乗)
  0.001=1/1000=(1/10)3 (1/10の3乗)
  0.0001=1/10000=(1/10)4 (1/10の4乗)
  ……
であることは納得いただけるでしょうか.

これを使うと,例えば
  0.1111=0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.0001
と考えることができます.

つまり,

  0.1111=1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/1000
です.さらに言うと
  0.1111=1/10 + (1/10)^2 + (1/10)^3 + (1/10)^4
です.
10進法だから,

  1/10, (1/10)^2, (1/10)^3, (1/10)^4, ……

を考えているのです.

 

では,3進法だったら?

10が3に代わるので・・・

  0.1111(3)=1/3 + (1/3)^2 + (1/3)^3 + (1/3)^4
を表すことになります.

3進法であることをアピールするために,(3)を付けました.

これが無いと,何進法だか,分からないですものね.

だから,タイトルの書き方は,ルール違反です(御免なさい).


よし,では,計算してみましょう.

  0.1111(3)=1/3 + (1/3)^2 + (1/3)^3 + (1/3)^4
       =1/3 + 1/9 + 1/27 + 1/81

       =(27 + 9 + 3 + 1)/81

       =40/81

です.

 

「おっ!?」

と思ってもらえましたか?

1/2の香りが漂ってまいりました(笑)

  0.1(3)=1/3

  0.11(3)=1/3 + 1/9 = 4/9
  0.111(3)=1/3 + 1/9 + 1/27 = 13/27
  0.1111(3)=40/81

  ……

分母が1だけ小さかったら,

  1/2, 4/8, 13/26, 40/80,……

で,どれも1/2ですね!!
ということで,

  0.1(3), 0.11(3), 0.111(3), 0.1111(3), ……
という数列で,ず~っと並んだ先に限りなく近づく値は?

そう考えると,
  1/2=0.111111……(3)

となってしまうのですね.


●進法を何にするかによって,1つの数でも色んな形の“極限”で表せるのです!

※この法則がずっと続くことを確認しようとすると,「等比数列の和の公式」を使うことになります.

 それはまたの機会に.