同じ法則がずっと続くのか？
昨日出会ったあの人に，今日も出会えるか？明日は？
日常生活では・・・なんとも言えないですね．
でも，数だったら，「必ずそうなる！」と言い切れます．
数を制御するカラクリが潜んでいるからです！
今回は，そんなお話．
1+2+3+4+5+6+7+8=?
これって，計算するといくらでしょう？
前から順番に足していくと，
1+2=3
1+2+3=3+3=6
1+2+3+4=6+4=10
1+2+3+4+5=10+5=15
1+2+3+4+5+6=15+6=21
1+2+3+4+5+6+7=21+7=28
次で最後！
1+2+3+4+5+6+7+8=28+8=36
よし，全部足したら36だ！
しかし，これでは足す個数が増えると，お手上げ．
だから，法則を探します！
足し算の途中経過で得られた数は
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36
なのですが，共通点は見出せますか？
ちょっと見えにくいので，（唐突ですが）それぞれ２倍してみます．
2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72
これで気づけたら，なかなかスゴイ！
実は，これらの数，掛け算で表してみると，共通点があります．
1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6, 6×7, 7×8, 8×9
となっているんです．
だから，
1+2+3+4+5+6+7+8=(8×9)/2
と，計算できるという法則です！
こんな法則，どうやって気づくのでしょうか？
実は，ちょっとした工夫で気づくことができます．
1+2+3+4+5+6+7+8 ……①
は，足し算する順番を逆にした
8+7+6+5+4+3+2+1 ……②
と同じ値になります．
だから，①と②を足すと，“求めたい和の２倍”が得られます．
次がポイントです．
①と②を足すとき，上下セットにして，前から順に足していきます．
1+2+3+4+5+6+7+8 ……①
8+7+6+5+4+3+2+1 ……②
すると，何が起こるでしょう？
(1+8)+(2+7)+(3+6)+(4+5)+(5+4)+(6+3)+(7+2)+(8+1)
を計算することになります．
(●+〇)が８個ありますが，そのいずれも，計算したら９になっていませんか？
だから，①＋②は
9+9+9+9+9+9+9+9=8×9
になるのです．
これが，求めたい和の，２倍，になっているから，求めたい和は
1+2+3+4+5+6+7+8=(8×9)/2
となるんですね．
(足している個数)×(最初＋最後)／2
という法則です！
1+2+……+100
も簡単に分かります．
(足している個数)=100
(最初)=1,(最後)=100
だから，
1+2+……+100=100×(1+100)/2=(100×101)/2=5050
です！
これなら，いくつ足すことになっても大丈夫！
しかも，この法則で足せるものは，けっこう沢山あります．
いわゆる，「等差数列」というタイプは，何でも足せてしまいます．
例えば，
1, 3, 5, 7, 9, 11, ……
は等差数列です．
前後の数の差が，常に２．
差が一定だから，等差数列．
1+3+5+7+9+11=?
と言われたら？
(足している個数)=6
(最初)=1,(最後)=11
だから，
6×(1+11)/2=(６×12)/2=6×6=36
となります！
1 +3+5+7+9+11
11+9+7+5+3+ 1
と考えて，
6×(1+11)÷2
となるんですね！
これにはもう１つネタがあるのですが，それはまたの機会に．