Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

足してみよう

同じ法則がずっと続くのか?


昨日出会ったあの人に,今日も出会えるか?明日は?
日常生活では・・・なんとも言えないですね.

 

でも,数だったら,「必ずそうなる!」と言い切れます.

数を制御するカラクリが潜んでいるからです!
今回は,そんなお話.

 

 1+2+3+4+5+6+7+8=?

これって,計算するといくらでしょう?
前から順番に足していくと,

 1+2=3

 1+2+3=3+3=6

 1+2+3+4=6+4=10

 1+2+3+4+5=10+5=15

 1+2+3+4+5+6=15+6=21

 1+2+3+4+5+6+7=21+7=28

次で最後!

 1+2+3+4+5+6+7+8=28+8=36

よし,全部足したら36だ!

 

しかし,これでは足す個数が増えると,お手上げ.

 

だから,法則を探します!

足し算の途中経過で得られた数は
 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36
なのですが,共通点は見出せますか?

 

ちょっと見えにくいので,(唐突ですが)それぞれ2倍してみます.
 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72
これで気づけたら,なかなかスゴイ!

実は,これらの数,掛け算で表してみると,共通点があります.
 1×2, 2×3, 3×4, 4×5, 5×6, 6×7, 7×8, 8×9
となっているんです.

 

だから,
 1+2+3+4+5+6+7+8=(8×9)/2
と,計算できるという法則です!

 

こんな法則,どうやって気づくのでしょうか?

実は,ちょっとした工夫で気づくことができます.
 1+2+3+4+5+6+7+8 ……①
は,足し算する順番を逆にした
 8+7+6+5+4+3+2+1 ……②
と同じ値になります.
だから,①と②を足すと,“求めたい和の2倍”が得られます.

次がポイントです.
①と②を足すとき,上下セットにして,前から順に足していきます.
 1+2+3+4+5+6+7+8 ……①

 8+7+6+5+4+3+2+1 ……②
すると,何が起こるでしょう?
 (1+8)+(2+7)+(3+6)+(4+5)+(5+4)+(6+3)+(7+2)+(8+1)
を計算することになります.
(●+〇)が8個ありますが,そのいずれも,計算したら9になっていませんか?
だから,①+②は
 9+9+9+9+9+9+9+9=8×9
になるのです.

 

これが,求めたい和の,2倍,になっているから,求めたい和は
 1+2+3+4+5+6+7+8=(8×9)/2
となるんですね.
 (足している個数)×(最初+最後)/2
という法則です!

 

 1+2+……+100

も簡単に分かります.
 (足している個数)=100
 (最初)=1,(最後)=100
だから,
 1+2+……+100=100×(1+100)/2=(100×101)/2=5050
です!

 

これなら,いくつ足すことになっても大丈夫!
しかも,この法則で足せるものは,けっこう沢山あります.


いわゆる,「等差数列」というタイプは,何でも足せてしまいます.
例えば,
 1, 3, 5, 7, 9, 11, ……
は等差数列です.
前後の数の差が,常に2.
差が一定だから,等差数列.
 1+3+5+7+9+11=?
と言われたら?
 (足している個数)=6

 (最初)=1,(最後)=11

だから,
 6×(1+11)/2=(6×12)/2=6×6=36
となります!
 1 +3+5+7+9+11
 11+9+7+5+3+ 1

と考えて,
 6×(1+11)÷2
となるんですね!

 

これにはもう1つネタがあるのですが,それはまたの機会に.