いつも唐突な計算問題で，すみません・・・
(2-1)+(4-2)+(8-4)+(16-8)+(32-16)+(64-32)+(128-64)=?
という足し算をやってもらえないでしょうか？
できれば・・・( )の中を計算せずに．
この( )の作り方，ものすごく作為的です．
１つ目の( )の中に「2」があって，２つ目の( )の中に「-2」がある．
２つ目の( )の中に「4」があって，３つ目の( )の中に「-4」がある．
だから・・・
例えば，最初の３つを足すと
(2-1)+(4-2)+(8-4)
=(□□-■)＋(■■■■-□□)＋(□□□□□□□□-■■■■)
=-■+(□□-□□)+(■■■■-■■■■)+□□□□□□□□
=-■+□□□□□□□□
=8-1
となります．
次々とプラスとマイナスによって，相殺されていく様子が分かりますよね．
だから，足し算の答えは・・・
(2-1)+(4-2)+(8-4)+(16-8)+(32-16)+(64-32)+(128-64)
=128-1=127
となることが分かります！
なんだか，鮮やかですよね！？
ちなみに，128は，2を7回掛けた数です．
128=2×2×2×2×2×2×2
これを，2^7と書くことにしますね．
他も同じように書きます(8=2^3,64=2^6など)．
改めて，
(2-1)+(4-2)+(8-4)+(16-8)+(32-16)+(64-32)+(128-64)=?
を見てみると，これは
1+2+4+8+16+32+64=?
と同じです．
1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6=?
という，いわゆる「等比数列」の和になっています！
これを計算したら，127，つまり，2^7-1となったのです．
1=2-1
2=4-2
……
64=128-64
と捉えることで，足し算できたわけです．
和を計算するのに，差を利用した
ということ！
実は，この観点，すごく大事なんです！
別の計算法を確認してみます．
さらっと書くので，「ちょっと難しいな」と思われたら，スルーしてくださいね．
1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6=A
とおいてみます．
Aを求めるのに，Aの2倍(2A)を計算してみます．
2A=2×(1+2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6)
=2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7
です．
2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6
が，Aと2Aで共通しています．
これをBとおくと，
A=1+B
2A=B+2^7
です．
だから，差（左辺と右辺のそれぞれ，下から上を引く）を考えると
2A-A=2^7+B-(1+B)
A=2^7-1
となるのです．
さっきと同じ答えですね！
再び，
和を計算するのに，差を利用した
のです！
ねっ，大事な観点でしょ！？
こういう原理を知って数学を深く理解してもらいたいな，と思います．