文系の問題で，これは基本概念の組み合わせで解けるものでした．
けれど，そこは京大，あやふやなところがあると，もちろん，お手上げになります．
京大の問題にチャレンジするには，初めて見る数学的対象であっても，しっかりと意味をくみ取れるようにしたいですね．
さて，絶対値についてです．
難しく言うと，
数直線上に数を配置するとき，
0からの距離がその数の絶対値
です．例えば，
|2|=2，|-2|=2
です．
|-2|=2=-(-2)
と見ることができるから，一般に
|a|=a または |a|=-a
です．
x^2=4を解くと，x=2またはx=-2
は，２つの値が答えになる，という意味です．
しかし，
|a|=a または |a|=-a
は，これとは違います．
a≧0のときは，|a|=a
a≦0のときは，|a|=-a
と決まっているからです．
2つの値が答えとして認められるのではないのです．
ちなみに，
x^2=4を解くと，x=±2
は正しい表記ですが，
|a|=±a ☜ダメ！
と書くのは間違いです．
「2つの値が認められる」わけではないからです．
こういった部分の理解があやふやだと，京大数学の問題は，意味すら分からないです．
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aを負の実数とする．xy平面上で曲線C：y=|x|x-3x+1と直線ｌ：y=x+aのグラフが接するときのaの値を求めよ．このとき，Cとｌで囲まれた部分の面積を求めよ．
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「aが負」という条件を見落として，最初はa=-3,5と２つ求めてしまいました（笑）
実際は，負のものだけを答えるので，a=-3だけですね．
誤答原因の８割は，誤読由来だ
と思っていますが，それを実践した形です．
絶対値の処理：
定義域の分割（これを「場合分け」とは呼ばない！）
Cは，
x≦0においては，y=-x^2-3x+1（緑の点線）
x≧0においては，y=x^2-3x+1（赤の点線）
と表されます．
定義域ごとに適当な方の点線を選択して，全体としては，薄い青の実線で描いたグラフになります．
あとは，微分して，接線の傾きが１になる点を考えるだけです．
(x^2-3x+1)'=2x-3
だから，x=2で接していることが分かり，接線は
y=1(x-2)-1 ∴ y=x-3
となって，a=-3となるわけです．
※もちろん，放物線と直線が接する条件だから，判別式＝０を解いても良いでしょう．
でも，面積まで考える問題だから，接点を求める必要もあります．
微分の方が，そこはスムーズかも知れません．
判別式で考える場合は，x^2-4x+1-a=0から，接点をx=2と見抜けないといけません．
平方完成したら分かります．
面積は，ちょっと工夫できます
※本当は，丁寧に立式して，手際よく積分計算するのがオススメです．
京大数学の解説．よければ，こちらもどうぞ．
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