絶対値について，
で少し扱いました．
書ききる前に力尽きてしまいましたので，今回は，絶対値だけをテーマにして書いてみようと思います．
「場合分け」と「定義域の分割」を混同してはならない
という話です．
まず，こんな問題を考えてみます．
―――――――――――――
aを0でない定数とする．xの方程式：ax=|a|を解け．
ただし，絶対値の記号を用いてはならない．
―――――――――――――
これは，aという文字定数に絶対値がついています．
文字定数には，数値を指定することができます．
そして，その都度，xの方程式を解くことになります．
例えば，a=2と指定すると，
2x=2 ……①
を解くことになります．
この等号を成り立たせるような未知数xを求める問題です．
2倍すると2になる数を答えるので，x=1になります．
実際，x=1のとき，
(①の左辺)=2×1=2
だから，右辺と一致しています．
等号を成り立たせる数，ということです．
例えば，a=5と指定しても
5x=5 ∴ x=1
ですし，a=100を指定しても
100x=100 ∴ x=1
です．
aの値に関わらず「x=1」が解であるなら，そのようにまとめて答えてしまえば良いのです．
しかし，そこまで甘くはありません．
a=-2を指定すると
-2x=2 ∴ x=-1
となるようです．
a=-3でもa=-10でも，x=-1になります．
どうやら，aが正であるか負であるかによって，答えが「x=1」だったり「x=-1」だったりするみたい．
だから，そのように「場合を分けて」答えます．
a>0のとき，x=1
a<0のとき，x=-1
これを，「x=±1」と答えるのは間違いです．
±1は，x=1もx=-1も解になる方程式を考えている，ということになります．
例えば，
x^2=1 ……②
の解が
x=±1
です．
x=1でも，x=-1でも，
(②の左辺)=1-1=0
となって，右辺と一致します．だから，両方とも解です．
これが，「場合分け」．
一方，こんな問題もあります．
―――――――――――――
xの方程式|2x-3|=xを解け．
―――――――――――――
|2x-3|=x ……③
の等号を成り立たせるようなxをすべて求める問題です．
未知数のxを含む式に絶対値が付いています．
先に答えを言うと，
x=1,3
が解になります．
x=1のとき
(③の左辺)=|-1|=1
(③の右辺)=1
x=3のとき
(③の左辺)=|3|=3
(③の右辺)=3
で，確かに両方とも解です．
では，これは，どう考えることになるのでしょう？
|2x-3|は，xの値によって，
2x-3
であるか，または，
-2x+3
であるか，のいずれかです．
前者はx≧3/2のとき，後者はx＜3/2のときです．
この場合は，実数全体の中から，③を満たすxを探すのですが，
「x≧3/2の中で探した解」と「x＜3/2の中で探した解」のいずれもが解になります．
x≧3/2において，③は
2x-3=x かつ x≧3/2
である．2x-3=xを解くと，x=3（x≧3/2の範囲に入っているから，OK）
x＜3/2において，③は
-2x+3=x かつ x＜3/2
である．これを解くと，x=1（x＜3/2の範囲に入っているから，OK）
以上から，（実数全体の中で探したら）解はx=3,1
どうでしょう？
「場合分け」との違いはわかりますか？
xを考える範囲（実数全体）を，２つに分割し，それぞれの範囲で答えを探しました．
全体としては，分けて答えるのではなく，すべての解を列挙することになります．
これを「定義域の分割」と呼んだのです．
分けて考えることを，何でも「場合分け」と呼ぶ風潮があるように思います．
これは，大きな混乱を生んでいるのではないかと，思っています．
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