Mr.∅の数学と古美術

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2020年・京都大学の数学・理系・第2問 ~学びの多い問題

京大数学の解説をやっています.

これは,京大理学部合格した生徒が「この問題は先生に教わったおかげで解けたよ」と言ってくれた問題.

一般的には難しいとされる問題ですが,京大らしく,想像力を働かせて正しく判断すれば,スッと道が見えてくるものです.

 

すみませんが,基本知識は仮定して解説させてもらいます.

そのまま授業になるくらいで書いてみました.

 

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pを正の整数とする.α,βはxに関する方程式x^2-2px-1=0の2つの解で,|α|>1であるとする.
(1)すべての正の整数nに対し,α^n+β^nは整数であり,さらに偶数であることを証明せよ.
(2)極限lim(n→∞)(-α)^n sin(α^n π)を求めよ.

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方程式の解α,βを使って,数列{α^n+β^n}を考えています.

 

方程式の解と言えば,

1)解く
2)グラフで議論する
3)解と係数の関係
4)解の定義(代入して等号を成り立たせる数)を利用
が考えられます.

 

2つの等比数列の和で表された数列.

このパターンは,3)でやる人も多いですが,4)の方がスムーズです.

 

{α^n+β^n}と言えば,三項間漸化式

αは解だから
 α^2-2pα-1=0
 α^2=2pα+1
を成り立たせる数である.
これにα^nを掛けることで,
 α^(n+2)=2pα^(n+1)+α^n ……①
が成り立つ.
同様にβについても
 β^(n+2)=2pβ^(n+1)+β^n ……②
が成り立つ.
①と②を加えることで,
 α^(n+2)+β^(n+2)=2p{α^(n+1)+β^(n+1)}+α^n+β^n ……③
が得られる.
これは,数列{α^n+β^n}の漸化式である.

このストーリーはよく見るので,経験しておく方が良いですね.

 

さて,(1).

一般項α^n+β^nよりも,漸化式③の方が議論しやすいというのがポイントです.
3項間漸化式だから,3項間帰納法!
(i)「n=1,2での成立」を示す
(ii)「n=k,k+1で成り立つならば,n=k+2でも成り立つ」が“真”であることを示す
という流れ.
(ii)は,③を用いると,すぐにできます.
(i)については,
 α+β,α^2+β^2
が偶数であることを確認します.
そのためには,「方程式と言えば,の3)」です.
 α+β=2p,αβ=-1
から,α+βは偶数だし,α^2+β^2も
 α^2+β^2=(α+β)^2-2αβ=(2p)^2+2
より,偶数と分かります.


(1)はこんな感じです.

「|α|>1」という条件をまだ使っていないことをお忘れなく!
αβ=-1だから,|β|<1です!
どこで使う?
もちろん,(2)です.

 

(2)は,出来・不出来がかなり分かれたようです.

極限は,「収束を証明し,値も求める」という意識が大事です.
「存在するかどうか」が常に論点になるからです.

 

収束の証明方法と言えば・・・

1)公式
2)四則演算
3)連続関数の利用
4)ハサミウチ
5)積分
今回は,(1)があるので,それも利用します.

 lim(n→∞)(-α)^n sin(α^n π)
 α^n+β^nは偶数

三角関数が絡む極限だから,
 1)公式:lim(θ→0)sinθ/θ=1
を使うというのが濃厚です.
でも,角度のα^n πは,∞に発散・・・

ここが一番のポイントになりそうですね.
|β|<1だから,β^nは,0に収束!
しかも,
 α^n+β^n=2m
 αβ=-1
です.

 

極限に登場する解を,αからβに変更できそうです.

 lim(n→∞)(1/β)^n sin{(2m-β^n)π}
sinの周期性を使って
 sin{(2m-β^n)π}=sin(-β^n π)=-sin(β^n π)
となるので,
 β^n π=θ
とおくと,
 lim(θ→0)π×(-sinθ/θ)=-π
と分かります.
 1)公式:lim(θ→0)sinθ/θ=1
で収束は証明できています!

 

まとめ

色んなことを連想し,解法の判断基準に照らしながら進めていくと,「これしかない」という所に行きつきます.
この問題は,その要素が強いですね.
別解がたくさんある問題が多い京都大学ですが,極限については,迷路やパズルのような問題も多いです.
たくさんある選択肢の中から,針の穴を通すように解法を絞っていきます.
(1)(2)ともに,学ぶべきことの多い問題でした!

 

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