Mr.∅の数学と古美術

数学講師が語る数学と古美術、「数学語」・「数学的文法」で日本の数学教育を変えたい!

2倍2倍になると・・・嬉しい

投資のことをブログに書かれている方,本当に多いですよね.
チャレンジしてみたいけど,なかなか私は手が出ないです.
預金で資産を増やすことができたら,どんなに楽か.

ということで,預金と数列のお話です.

1年で2倍になる預金があるとします(あるわけないですけど・・・).

最初に1円預けたら,1年後に2円になります.
そして,その瞬間,1円を追加で預けることにします.
 1+2=3円
になりました.
さらに1年後,2倍になった瞬間,追加で1円預けます.
何円になりましたか?
 3×2+1=7円
ですね.
これを繰り返すと,最初に預けた時点から,5年後には,いくらになっているでしょう?
2倍になって,1円預けたときを考えます.

実は,これ,こう考えると分かりやすいです.

 最初の1円は,2倍,2倍,・・・が4回繰り返されて,16円になっている
 次の1円は,3回繰り返されて,8円
 次は,2回だから,4円
 その次は,2円,
 いま預けたばかりの1円は,1円のまま

だから,総額は
 1+2+4+8+16=31円
となります.
たった5円を預けただけなのに,32円になるなんて,夢のようですね.
(現実世界でこんな話があると,間違いなく詐欺!)

では,10年後にはどうなっているでしょう?
100年後は?

こう考えだすと,数列の出番ですね.

個数が多いとややこしいので,5個にします.
5年後です.

 S=1+2+4+8+16
という和を計算したいのです.
和の答えをSと表すことにしました.

※前から順に足す,という方法はやりません!
 100年後を計算するのにも使える方法を考えたいからです.

上で見たように,預金額は毎年2倍くらいになりながら増えています.
そこでSの2倍を考えてみます.
すると,
 2S=2+4+8+16+32
となります.
足している1,2,4,8,16をそれぞれ2倍しています.

Sと見比べたら,「2+4+8+16」が同じになっているようです.
 2S=2+4+8+16+32
 S=1+2+4+8+16
これをどうするか?
ここがポイントになります!

2SからSを引いたら?
Sになります.

2+4+8+16+32から1+2+4+8+16を引いたら?
共通している部分が消えて・・・

 (2+4+8+16+32)-(1+2+4+8+16)=32-1=31
となります!

これがSだから,
 S=32-1=31
ということ!
16を2倍して,1を引いたものになった!

では,

 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=?
(全部,2を何回かかけた数です)
10個足しているから,10年後です.

2倍すると
 2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024

差を計算すると
 1024-1=1023
だから,
 1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023
です.


10年で,預けた10円が1023円に!
夢のようですね(笑)