投資のことをブログに書かれている方,本当に多いですよね.
チャレンジしてみたいけど,なかなか私は手が出ないです.
預金で資産を増やすことができたら,どんなに楽か.
ということで,預金と数列のお話です.
1年で2倍になる預金があるとします(あるわけないですけど・・・).
最初に1円預けたら,1年後に2円になります.
そして,その瞬間,1円を追加で預けることにします.
1+2=3円
になりました.
さらに1年後,2倍になった瞬間,追加で1円預けます.
何円になりましたか?
3×2+1=7円
ですね.
これを繰り返すと,最初に預けた時点から,5年後には,いくらになっているでしょう?
2倍になって,1円預けたときを考えます.
実は,これ,こう考えると分かりやすいです.
最初の1円は,2倍,2倍,・・・が4回繰り返されて,16円になっている
次の1円は,3回繰り返されて,8円
次は,2回だから,4円
その次は,2円,
いま預けたばかりの1円は,1円のまま
だから,総額は
1+2+4+8+16=31円
となります.
たった5円を預けただけなのに,32円になるなんて,夢のようですね.
(現実世界でこんな話があると,間違いなく詐欺!)
では,10年後にはどうなっているでしょう?
100年後は?
こう考えだすと,数列の出番ですね.
個数が多いとややこしいので,5個にします.
5年後です.
S=1+2+4+8+16
という和を計算したいのです.
和の答えをSと表すことにしました.
※前から順に足す,という方法はやりません!
100年後を計算するのにも使える方法を考えたいからです.
上で見たように,預金額は毎年2倍くらいになりながら増えています.
そこでSの2倍を考えてみます.
すると,
2S=2+4+8+16+32
となります.
足している1,2,4,8,16をそれぞれ2倍しています.
Sと見比べたら,「2+4+8+16」が同じになっているようです.
2S=2+4+8+16+32
S=1+2+4+8+16
これをどうするか?
ここがポイントになります!
2SからSを引いたら?
Sになります.
2+4+8+16+32から1+2+4+8+16を引いたら?
共通している部分が消えて・・・
(2+4+8+16+32)-(1+2+4+8+16)=32-1=31
となります!
これがSだから,
S=32-1=31
ということ!
16を2倍して,1を引いたものになった!
では,
1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=?
(全部,2を何回かかけた数です)
10個足しているから,10年後です.
2倍すると
2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024
差を計算すると
1024-1=1023
だから,
1+2+4+8+16+32+64+128+256+512=1023
です.
10年で,預けた10円が1023円に!
夢のようですね(笑)