京都大学の数学シリーズです．
今回は，理系の第１問．
難化したと言われる2020年の京大数学．
どんな問題なのでしょうね？
この問題は，全体の中では，解法判断に迷う要素は少ないので，解きやすい方です．
とはいっても，難化した京大の理系数学の中で，ですが．
※「基本事項は身についている」という前提での解説です．
適宜，図を補いながら読んでもらえると有難いです．
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a,bは実数で，a>0とする．
zに関する方程式
z^3+3az^2+bz+1=0 (*)
は３つの相異なる解を持ち，それらは複素数平面上で一辺の長さが(√3)aの正三角形の頂点となっているとする．このとき，a,bと(*)の３つの解を求めよ．
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複素数平面上で正三角形αβγと言えば？
一般的には，
(β-α)/(γ-α)=1/2±(√3)i/2
でしょう．
今回は，３次方程式の解，という情報があるので，共役複素数の“特殊性”を使いながら，正三角形についての確定情報を探すのが良さそうです．
ということで，キーワードは，「方程式の解」です．
ここから連想できる解法は
１）解く
２）グラフを利用
３）解と係数の関係
４）解の定義
です．
文字が２つも入っているので，「１）解く」は無さそうですね．
「解であるという条件」を代入で処理する４）の解法も，フィットする感じはしません．
では，「２）グラフ」はどうでしょう？
異なる３つの解，と言ってはいますが，
あ）実数が３個，虚数が０個
い）実数が１個，虚数が２個
のいずれのパターンかは不明です．
パッと，グラフは考えられません．
しかし・・・
あ）の場合，３つの解を図示すると，すべてx軸上に
あって，三角形の頂点にはならない．
だから，あ）は考える必要がない．
となります．
ということで，グラフを考えてもあまり意味のない，い）のパターンのようです．
３つの解は，
x=p（実数），α，β（βはαの共役複素）
となります．
結局，「３）解と係数の関係」という線が濃厚になります．
実際，２）の場合，虚数の２個は，互いに共役で，x軸について対称になります．
解と係数の関係から，
p+α+β=-3a …………
pα+pβ+αβ=b ……
pαβ=-1 ……………
です．
とりあえず，ここまでは進めて欲しいところでしょう．
さて，ここで，１辺の長さが分かっているから，虚数解α，βの虚部は，±(√3)a/2と分かります．
さらに，虚数解の実部は，正三角形の高さ（3a/2）を考えることで分かります．
つまり，実部は
p-3a/2 ……①
または
p+3a/2 ……②
です．
①のとき，
p+α+β=3p-3a
で，より，これが-3aだから，p=0です．
このとき，は成り立ちません．
つまり，を満たすｘは存在しません．
よって，②を考えればよいことになります．
ここまでで，かなり進みました．
いつもの京大なら，これくらいで答えに到達するのですけど，この問題は，まだゴールが見えていません・・・
から，
3p+3a=-3a ∴p=-2a
これで，α，βは
-a/2±(√3)ai/2 つまり a(-1/2±(√3)i/2)
と分かって，
α+β=-a，αβ=a^2から
-2a*a^2=-1 ∴ a=1/(2の3乗根)から
-2a(-a)+1/2a=b ∴ b=3/(4の3乗根)
そして，３つの解は
-(4の3乗根),(-1/2±(√3)i/2)*{1/(2の3乗根)}
と分かります．
以上が，2020年京大理系数学の第１問でした．