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この問題，ちゃんと意味が分かれば，条件の整理は簡単にできます．
「ちょっと計算したら終わり！」と思ってしまいがちですが・・・
そう甘くはなかった．
京大だから，計算量は不要だろうと高をくくっていた人は，慌ててしまったかも．
４つの式に，たくさんの文字．
手に負えなくなってしまう危険性のある問題です．
ポイントは，２次関数の
置き方
です．
２次関数を表す式の形は，いくつかあります．
基本：y=ax^2+bx+c
頂点：y=a(x-p)^2+q
交点：y=a(x-α)(x-β)
その他，“戦略的”な置き方もあります．
例えば，
「y=3x+2とx=2で接する」
というときは，
「連立したら，x=2が重解」
という意味だから，
y=a(x-2)^2+3x+2
とおけるのですね．
そんなの，見たことないんですけど・・・
というのが，だいたいの感想だろうと思います．
その通りです．
こんな方法，学校では習わないですし，参考書にも載っていないでしょう！？
数学の先生でも，初めてみる人が多いと思います．
でも，大学入学共通テストでは
こういうのが大事なんですね！
「見たことがなくても，式の意味を理解して，答えないといけない」
という問題がどんどん出題されるハズ．
京大で求められるようなレベルが，大学入学共通テストでは，一般受験生にも求められるのですよ！
実際，センター試験と比べて，大学入学共通テストでは，平均点はうんと下がると思われます．
さて，では，京大の問題について考えていきましょう．
求める２次関数をf(x)と表すことにします．
直交する２点のx座標をp,q (p<q)とおくと，f(x)が満たす条件は，
① f(p)=p^2 ② f(q)=q^2 …x=p.qが共有点になる
③ f'(p)=-1/2p ④ f'(q)=-1/2q …接線が直交する
という４つのすべてを満たすこと．
どのようにおきましょうか？
①と②を利用
「y=x^2と連立したら，x=p.qが解になる」
という情報を生かして，
f(x)=a(x-p)(x-q)+x^2
とおけます．これと③，④を組み合わせたら，解けそうですね．
つまり，aをp,qで表し，p,qが満たす関係式が得られます．
①と③を利用
「y=-(1/2p)(x-p)+p^2とx=pで接する」
という情報から
f(x)=a(x-p)^2-(1/2p)(x-p)+p^2
とおくことがます．これと②，④を組み合わせたら，解けてしまいます．
色々といけますね！
せっかくなので，ちょっと変わった方法を考えてみましょうか．
③と④を利用
「f'(x)=-(1/2x)を解いたらx=p,q」
という情報が得られます．f'(x)は1次式です．
f'(x)+(1/2x)={2xf'(x)+1}/(2x)
で，この分子が(x-p)(x-q)でくくれるから
2xf'(x)+1=a(x-p)(x-q)
∴ 2xf'(x)=a(x-p)(x-q)-1
とおけてしまいます．
右辺がxで割り切れるために
apq=1
となるから，
f'(x)={x-(p+q)}/(2pq)
とおけます．
これを積分してしまえば，f(x)をおくことが可能です．
f(x)={x-(p+q)}^2/(4pq)+C
これと①，②から，Cをp,qで表し，p,qの関係式を作ればOKです．
と言いつつ，どれでも計算はけっこう煩雑になってしまいます・・・
もちろん，
f(x)=ax^2+bx+c
とおいて計算するよりはマシだろうと思います．
楽にやる方法が無いわけではないですが，ちょっと知識が必要になるので割愛．
置き方へのこだわり，重要ですね！
しかも，ちゃんとわかっていると，自由に置くことができて，解ける幅が広がりそうです．
そんなの気づかない！
という風に思われるかも知れません．
でも，できれば，
基礎の深い理解でここまでできるんだ
と思ってもらえると嬉しいです．